Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
17.6 Непрерывность d\i в критической точке
Для модели Яф4 + аф2 мы покажем, что функции Швингера непрерывны по а на
замкнутом луче ос ^ о < оо. В частности, они имеют предел при а | ас. Из
того что функции S{\ монотонны относительно А и а (это было установлено
при доказательстве теоремы 17.5.1 для случая S^), следует, что функции
Швингера S(rt) в бесконечном объеме непрерывны относительно о справа и
монотонно возрастают по а и -ц, ц ^ 0. Поскольку возможны фазовые
переходы, это общее соображение устанавливает только одностороннюю
непрерывность. Двусторонняя же непрерывность для
17.7 Критические индексы 335
ст > (Ус следует из приводимой ниже теоремы 17.6.1 о существовании
производной.
При достаточно больших а (или ц) мы попадаем в область сходящихся
кластерных разложений (ср. гл. 18). Можно определить функцию S(n\ исходя
из ее значений в этой области и монотонно уменьшая ст и -ц. Такое
продолжение S(n) известно как определение с помощью граничных условий в
области малого взаимодействия [Glimm, Jaffe, 1975b],
Теорема 17.6.1. При ст > стс (где ос определено в § 17.1) существуют
производные
dSW{x)/da. (17.6.1)
Доказательство. Следует применить неравенства Лебовица из следствия
4.3.3, как и в § 17.5 или в работе [Glimm, Jaffe, 1975Ь]. Производные
(17.6.1) ограничены сверху суммами произведений двухточечных функций
S<2). 9
Замечание. Этот результат обобщается на усеченные функции Швингера,
определенные в § 14.1, а также и на вершинные функции Г; см. [Glimm,
Jaffe, 1975Ь]. Производные, как правило, стремятся к оо в точке ст = стс
со скоростью, определяемой некоторым критическим индексом. Производные
dS{n)/do сами являются (частично) усеченными функциями Швингера с одной
:ф2:-вершиной. В силу монотонности (теорема 17.1.1), производная dS^/da
абсолютно непрерывна по ст. Значит,
c(") I Г dS(n)
о |сг=сго - ° la = (Ji \ ^
Оо
и поэтому производная dS{n)/do может быть использована для изучения
асимптотического поведения 5(п) при а \ ос. В случае когда производная
допускает оценку с помощью корреляционных неравенств, можно получить
дифференциальное неравенство для функций S(nK Решение этого
дифференциального неравенства дает строгую оценку сверху некоторого
критического индекса. Дальнейшее развитие этой точки зрения приводит к
уравнению Кал-лана - Симанзика [Domb, Green, 1972, v. 6] и методам,
связанным с ренормгруппой.
17.7 Критические индексы
Изучение термодинамических величин и корреляционных функций вблизи
критических точек представляет наибольшую трудность. Главный член
асимптотики обычно является степенным и, таким образом, определяется
небольшим числом параметров - показателями степени (индексами) и
коэффициентами. Обычно считается, что индексы универсальны в том смысле,
что они совпадают для широкого класса близких взаимодействий (например,
для модели
336 Гл. 17. Критическая точка в модели <р4
Ф4 и модели Изинга, определенных на решетке произвольного вида, или для
всех непрерывных ф4-теорий). Однако индексы зависят от размерности d
пространства или пространства-времени, так же как и от числа компонент
вектора ф. Поскольку находить индексы как с помощью вычислений, так и
экспериментально, довольно трудно, большое значение приобретают точные
теоретические соотношения (неравенства и предполагаемые тождества).
Систематическое обсуждение критических индексов содержится в работе
[Stanley, 1971]. Здесь же мы лишь проиллюстрируем
основные идеи на примере вывода нескольких стандартных, а
также менее известных неравенств между индексами из неравенств Гриффитса
и Лебовица. Поскольку мы применяем неравенства Ле-бовица, придется
ограничиться случаем п = 1.
Примем каноническую нормировку и определение (17.4.2) для величины S (р)
и положим
х = 5<2>( 0), е = а - ос. (17.7.1)
Тогда критические индексы v, у, т] и ? определяются из соотноше-
ний
m ~ е\ х ~ e-v,
(ф (л:) ф (0)) |а=0с ~ х~а+2~ц, Z ~ е?.
Теорема 17.7.1. Гауссовы (полученные с помощью приближения среднего поля)
значения v, у, т] и ? равны соответственно
Vkji = 1 /2, 7кл = 1, Т]кл = 0, ?кл = 0.
Таблица 17.1. Значения критического индекса v, основанные на точных или
машинных вычислениях, теоретических оценках и экспериментах
1\" d \ n- 1 Модель Изинга п=2 Модель ХУ П = оо Гауссова модель
d = 1 с" (точное значение) 1/2 (точное значение)
d = 2 1 (точное значение) оо (теоретическое и экспериментальное
значение) 1/2 (точное значение)
d = 3 0,63 (численные методы) 0,67 (численные методы) 1/2 (точное
значение)
d = 4 1/2 (теоретическое зна чение) 1/2 (теоретическое значение) 1/2
(точное значение)
/7.7 Критические индексы 337
Для ф4-теории однокомпонентного поля каждый из индексов v, у, г), ? не
меньше своего классического значения.
Доказательство, Вычисление гауссовых значений элементарно. Например, в
гауссовом случае ас = 0, е = а = (1/2)га2, 2=1, р(a)da = 0, S(p) = 1 /(р2
+ + /л2). По определению, 0 ^ Z ^ 1, так что 0 = ^ ?. Аналогично, 0 =
