Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
спектром, что вытекает из отсутствия двухчастичных связанных состояний у
(xxyz) Т\ см. [Glimm, Jaffe, 1975с]. Таким образом, (17.10.6) означает,
что
Г(х -(/)< е-3т|л;-*'Г, |* - t/1 -"- оо.
342 Г л. 18. Кластерные разложения
Положительность функции Г(х-у) следует из того факта, что она является
преобразованием Фурье функции Герглотца. !
В заключение приведем еще одно следствие неравенства (17.10.2).
Теорема 17.10.2 [Glimm, Jaffe, 1976Ь]. Пусть d^6, g0(8) = = ^ const
(конечная перенормировка заряда), и пусть,
кроме того, выполнено (17.10.2). Если предел при 6->-0 решеточной Хщ-
теории поля евклидово-инвариантен, то он представляет собой свободное
поле.
Замечание. Этот результат выражает в слабой форме идею о том, что
перенормировки необходимы (т. е. что неперенормированные теории
некорректны). Однако он не проясняет вопроса о том, являются ли
перенормированные модели ф4, Юкавы и КЭД корректными (нетривиальными) в
размерности d = 4.
Глава 18
Кластерные разложения
18.1 Введение
Кластерные разложения [Glimm, Jaffe, Spencer, 1973, 1974] позволяют
детально изучить свойства квантовых полей. С их помощью, кроме
доказательства существования предела при предельном переходе к
бесконечному объему, можно получить подробную информацию о свойствах
спектра: кратность основного состояния; существование изолированных точек
спектра, отвечающих частицам; наличие или отсутствие связанных состояний;
полнота состояний рассеяния в низкоэнергетической области; аналитичность
относительно констант связи; суммируемость по Борелю и т. д. В гл. 14
были указаны применения кластерных разложений к изучению частиц, а в гл.
5 и 16 - к теории фазовых переходов.
Кластерные разложения сходятся в том случае, когда значения параметров,
задающих квантовое поле, достаточно удалены от критических значений, т.
е. поле близко к гауссовому. Можно построить кластерные разложения (более
сложные, чем те, которые приводятся здесь) и для многофазных теорий, у
которых каждая чистая фаза является почти гауссовой. Кластерные
разложения являются основным средством анализа картины, возникающей в
приближении среднего поля, как это описано в гл. 5 (для области значений
параметров, удаленной от критических точек).
18.1 Введение 343
Разложения, о которых идет речь, тесно связаны с вириаль-ными и
кластерными разложениями в статистической механике; см. гл. 2.
Соответствующая формула из статистической механики дает следующее
разложение плотности вероятности в ансамбле Г иббса:
fle-vv(xr*i)= П[1+(е-РЧ*г*/)_ 1)] =
= ? П 0(18.1.1)
г (г, /)г=Г
Здесь Г - множество неупорядоченных пар (г,/), 1ф}, т. е. граф Майера, а
суммирование распространяется на все такие графы. Эта формула выражает
взаимодействие e~^v (xt~xi) частиц с номерами i и j (г =й=/) в виде суммы
двух членов: первый, 1, отвечает нулевому взаимодействию, а второй
представляет собой возмущение - 1, которое мало при высоких
температурах
kT = Р"1. Оставаясь на эвристическом уровне, можно сказать, что роль
гиббсовой плотности в ^(ф)г-теории поля играет мера
e-S ,.*.<*)д dcpU)_ (18Л 2)
iefi!
Здесь
s40(x) =y [(Уф(л:))2 + т2ф(л:)2], (18.1.3)
а формальное выражение
П ЖрМ (18.1.4)
xe=R2
обозначает гауссову меру с?Фс0 на 9" (R2) с нулевым средним и ковариацией
С0.
В формуле (18.1.2) взаимодействие между отдельными точками
/Г7 \2 \ -(1/2) ^ (Уф)2
входит лишь в член (Уф)2 в sy-o(x), так что е J играет
здесь роль величины в (18.1.1). Наше кластерное разложение строится в
духе формулы (18.1.1). Непосредственный аналог полностью
невзаимодействующей теории получается, если отбросить лапласиан в
выражении
jj (х) dx = y jj ф (х) (- А + ml) ф (х) dx.
Соответствующая ультралокальная теория весьма сингулярна по сравнению с
теорией, определенной с помощью (18.1.2). Мы будем уменьшать и оценивать
сингулярность для разности взаимодействующей и невзаимодействующей теорий
в два этапа. На первом этапе мы модифицируем указанную выше
ультралокальную стратегию, введя решетку в плоскости R2 и используя эту
решеточную
344 Г л. 18. Кластерные разложения
структуру в разложении, обобщающем (18.1.1). В этом разложении
взаимодействие выключается лишь на ребрах решетки. Таким способом мы
уменьшаем сингулярность свободной (невзаимодействующей) меры по отношению
к мере со взаимодействием. В формулировках теорем 18.1.1-2 отсутствуют
указания на использование решетки, и в результате получается разложение
для непрерывной теории Р(ср)2 в бесконечном объеме, а не для ее
решеточной аппроксимации. Пусть Г - множество ребер решетки, соединяющих
соседние узлы, и пусть Дг - оператор Лапласа с граничными условиями
Дирихле на Г. Положим
Сг=(-Дг + ш02)-'. (18.1.5)
Тогда dq>cr играет роль свободной меры, для которой взаимодействие вдоль
кривой Г отсутствует. В итоге структура решетки дает возможность ввести
дискретный набор переменных в сумме
и произведении 2 П в (18.1.1), даже если эта формула при-г (", /)<= г
меняется к непрерывной модели Р(ф)2.
