Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
X sup (eQ X)).
KWW/I-1
Положим yf = | | + | | + | |. Заметим, что | Г |<! ^ 2 | Г | и | X
| <[
^ 2 j Г |. По теореме 16.2 3
Рг (Г) < (40)* г 1 [Х11Чм\{Х1М)]Л'М ехр [2К (In Я)2 ] Г | ].
Воспользуемся формулой Стирлинга М\<1/м) ~ М/е и перепишем эту оценку в
виде
Рг (Г) < [(5Яil2M/e)M ехр {2К (In Я)2 + In (40)}]' Г
Выберем в качестве М наибольшее четное число, удовлетворяющее неравенству
5Я1/2Л{ sg: 1. Тогда существует такая константа Ki, не зависящая от X и
Г, что при достаточно малых Я
Рг (Г) < ехр [{- 2^1 Я-1/2 + 2К (In Я)2 + !п (40)} | Г | ] < ехр [- Я-1/2
| Г | ].
Таким образом, теорема 16.2.2 доказана и существование фазовых переходов
сводится к доказательству теоремы 16.2.3.
Доказательство теоремы 16.2.3 основано на двух предварительных связанных
между собой оценках.
Предложение 16.2,4. Пусть 0 ¦< А ^ 1/2, и пусть Л - прямоугольник ЬУ(Т.
Предположим, что L ^ Т и А~3/2 ^ L. Для вещественной функции ^(I)gL(A)
определим
W7 = \ V dx -j- Qi = ^ :А (ф - А ') + А1^ ? (х) (ф2 - A ')^i/2 dx.
Л Л
Пусть С - (-А(5л ~Ь A)_I обозначает ковариационный оператор с граничными
условиями Дирихле на дА. Тогда
ехр [-- К \ Л |] ^ ^ ехр [- И?] dq>c s^exp [К (In А)2| Л |], (16.2.9)
где К - константа, зависящая только от ||?||L .
16.2 Двухфазная область 311
Замечание. Множитель (1пХ)2 из оценки сверху можно исключить [Glimm,
Jaffe, Spencer, 1976а].
Предложение 16.2.5. Существует такая константа К < оо, что для любых 0 <
1/2 и ||(г2)|, | %fj |^24, а также для любого пря-
моугольника X
$exp[Q2(g<2\ X) + Q3(t{\ Х)]йц>с<ехр[К\Х\]. (16.2.10)
Доказательство теоремы 16.2.3 в предположении, что доказаны предложения
16.2.4-5. В силу неравенства Гёльдера,
(ехр Q (?, А'))< sup (ехр Qv (3|(v), Х)), (16.2.11)
1 <v<3
поэтому достаточно оценить члены, соответствующие отдельным Qv, при
условии что ||111, < 3. При v = 1, 2 оценку можно свести к случаю,
когда X - пря-
"ОО
моугольник, если воспользоваться оценкой по методу многократных
отражений, доказанной в следствии 10.5.8, положив k(n - ехр Qv(?*v\ А/)-
После отражений функций получим функции вида ехр Qv (g(v\ У), где У-
прямоугольник. Тогда необходимая оценка для (16.2.11) при v = 1, 2
получится из оценки
(ехр Qv (g(v), У)) < ехр [К (In Я)21 У | ] (16.2.12)
для прямоугольников У, которую мы докажем ниже. Соответствующая редукция
в случае v = 3 проводится следующим образом. Вначале, пользуясь
неравенством Гёльдера, мы сводим задачу к случаю, когда Q3 есть сумма по
непересекающим-ся парам. (В результате условие ||| ^ 1 заменяется
условием ||| ^4.) Далее применяем следствие 10.5.8, заменив квадрат
Дпрямоугольником A U Д', где (Д, А') е <%3. Таким образом, необходимо
оценить среднее с v = 3 величиной (16.2.12) в случае, когда У есть
прямоугольник 2Lt X L2, a ф 0 только для (А;, А/), для которых
объединение Д; (J Д/ принадлежит множеству й?, состоящему из UU
непересекающихся прямоугольников 2X1, покрывающих У.
Среднее в конечном объеме <->л, определяемое мерой dnA вида (11.2.1),
сходится к среднему <•> при Л f R2. Поэтому
(ехр Qv (?(v>> У)) < 2 (ехр Qv (|(v), У))д, (16.2.13)
если Л содержит достаточно большое множество, зависящее от |, У, X и v.
Допустим, что Л гэ Л(|, У, Я, v). Мы будем оценивать (16.2.13) при
фиксированных (|, У, Я, v), но получим оценку ехр [7((1п Я)2| У|], в
которой К не зависит от (!, У, X, v). Не теряя общности, можно выбрать в
качестве А прямоугольник L X Т, удовлетворяющий условиям "К~31г ^ L <С Т.
Следующий шаг оценки величины (16.2.13) состоит в том, что У
увеличивается по сравнению с Л до тех пор, пока не будет выполнено
условие ]Л| ^
- 4 (У |. Применим несимметричную оценку по методу многократных
отражений,
доказанную в теореме 12.4.2, положив В - ехр Qv (i*v\ У) и К = У. Тогда
|Л<">| 4|Я<П>| и В{п) = ехр Qv (?<v), К{п)). Условие (12.4.9),
налагаемое на
2(Л), вытекает из оценки (16.2.9) предложения 16.2.4 в случае | = 0.
Таким образом, осталось оценить
(5(П))Л = (ехр Qv (g(v>, К{п)))к = 2 (Л)"1 J ехр \QV >, KUl)) - V (Л)]
dq>c,
где Л = Л(п>. Для доказательства (16.2.12) достаточно получить оценку
<В<П>) < ехр [К (In Л)21 Л(п> | ]. (16.2.14)
^Ч\ГС)
312 Гл. 16. Фазовые переходы
Из предложения 16.2.4 в случае 1 = 0 вытекает, что Z(Л*'1)) оценивается
'снизу величиной ехр [->С|Л(П)|]. Оценка сверху для ^ ехр [Qi - V] dcpc
также ¦следует из предложения 16 2.4. При v = 2, 3 применяем неравенство
Шварца:
^ ехр [Qv - V] dcpc < | ^ ехр [2QJ dq>c ¦ ^ ехр [- 2V] dq>c j 1 .
Два множителя в правой части оцениваются сверху с помощью предложений
16.2.5 и 16.2.4 соответственно. |
.Доказательство предложения 16.2.4. Применяя масштабное тождество
(8.6.26) с а = Л1/2, получаем (в обозначениях § 8.6)
^ ехр [- W] d<pc = ^ ехр :Р (<р, f)-C0] ^ФСв- (16.2.15)
Здесь С0 = (-А + /)-¦ и св=(-да (Л1/2Л) + /)"1- Пусть %х(х) обозначает
характеристическую функцию множества X. Тогда
fi = ХЛ,/2Л. fi = {- 2Я'1 + Щ1 (х VA )} ХЛ1/2Л.
fQ = {X-2-X-V\(x/^)} хл1/2л.
В качестве следующего шага произведем виково переупорядочение полинома Р.
