Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 127

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 187 >> Следующая

считать, что Q3 есть сумма по непересекающимся парам квадратов (Д, Д').
Пусть Й? обозначает множество таких пар.
Положим Си = (-Да' + Я)-1, где оператор ДN определяется граничными
условиями Неймана на (3(Д11Д') для всех пар (Д, Д') е 33. По неравенству
обусловленности предложения 10.3.1
J ехр [<?3 (f\ X)] dVc < J ехр [Q3 (f\ *)] dVcN. (16.2.25)
Пусть (Д, Д') e Jf; положим h s - %д,. Так как правая часть неравенства
(16.2.24) факторизуется, мы получаем
^ ехр [Q3 (^3), X)] diрс^ < ехр (h, СNh) || ?(3) ||| Я |].
Функция h ортогональна функциям, постоянным на Д U Д'. Поэтому h
ортогональна основному состоянию оператора -Д* в L2(AUA')- В этом
гильбертовом пространстве Cn - компактный оператор. Пусть Е\ - наименьшее
ненулевое собственное значение оператора - Д*. Тогда справедлива оценка,
не зависящая, от X:
(h, CNh) < (?, + А)"11| h III < 2Ei l-Так как \M\ ^ |Х|, мы получаем
требуемое неравенство J exp[Q3(^3), X)] dyc < ехр [К \Х \ ],
в котором константа К не зависит от X, X, Л.
Рассмотрим теперь случай, отвечающий Q2. Вначале произведем виково
переупорядочение полинома Q2 по отношению к ковариации С = (- Адл + Л) 1
с граничными условиями Дирихле на <ЗЛ. Тогда
:Q* (й(2>, X):kl/2 = :Q2 (g<2>, х):с + а,
где а - константа, удовлетворяющая равномерной по X оценке \а\ ^0(|Х|).
Таким образом, а можно в дальнейшем не учитывать.
Пусть Сц = (-Дд' + А)-1 обозначает теперь ковариационный оператор с
граничными условиями Неймана на границе всех квадратов решетки Д.
Согласно* неравенству обусловленности предложения 10.3.1,
^ ехр [<32(?<2,> *)]Лрс< Щ ехр [:Q2 (gi-2), Л;):Сл,] ^Фсд,-
i
Достаточно показать, что каждый член в этом произведении не превосходит
не* которой константы, не зависящей от X.
Пусть %д обозначает оператор умножения на %д> а Рл - оператор
ортогонального проектирования на подпространство констант в L2(Д). Тогда
¦316 Гл. 16. Фазовые переходы
| In Я [ 1 1{2) :ф2 (А) - Ф (Л)2:Сд, = ^ :<р (х) Ф (y)-.cNv (.х, у) dx
dy, где v (х, у) - ядро оператора v - | In Я |-11(2) (%д " ^д)- Из
(9.1.26Ь) следует,
'ЧТО
^ ехр [:Q2 (g<2>, Л);Сд,] d(fCN = ехр [-Tr {In (/ - А) + Л}] <
< ехр [const [[ Л IIhs].
тде А = Clpj2vClJ[2, a [|/1|1hs обозначает норму Гильберта - Шмидта
оператора А. Последнее неравенство выполняется, если ||/4||Hs < 1.
Подпространство констант принадлежит ядру оператора р4 в L2(Д) и
О ^ Хд - Р д < ^ Кроме того, (-Д^ + Я)-1- компактный оператор в
L2{A). Следовательно,
1И IIhs < I я I-21{2) 2 Tr (CN (%Л - Рд) Сд,) = | In Я |~21{2) 2 ? <-Е1 +
Ы~2'
1Ф о
где Ej = const|/|2(/ s Z2)-ненулевые собственные значения оператора -An в
Х2(Д). Сумма 2] EJ2 сходится, поэтому IM||Hs < 1 при достаточно ма-
/ Ф о
лых Я. 1
16.3 Сохранение симметрии (случай d = 2)
Рассмотрим векторнозначные поля <р, принимающие значения ¦<р(х)ей?, где
SB есть Rn или S'1-1. Можно рассматривать также поля, для которых SB -
алгебра Ли или группа Ли. Функционал действия s& определяется на
пространстве SB или на полях, принимающих значения в SB. Обычно
функционал М- инвариантен относительно группы симметрий G пространства
SB. Например, в § 5.5 рассмотрена модель со взаимодействием нзингова
типа, в которой спиновые переменные а(х) принимают значения в S1 и при
этом взаимодействие инвариантно относительно группы U (I) вращений S1.
Эта модель, называемая моделью ротаторов или ХУ-моделью, была предложена
для описания поверхностных явлений и плавления. Аналогичная модель
изингова типа со спинами, принимающими значения в S2, называется моделью
Гейзенберга или XYZ-моделью и используется для качественного описания
ферромагнетизма. Наконец, векторные ф4-модели применяются в физике
элементарных частиц, где их называют полями Хиггса.
В случае векторнозначных моделей качественная теория фазовых переходов
более сложна. Пусть Ж кл есть пространство КОН" .фигураций ф,
минимизирующих S&. Обычно такие конфигурации являются постоянными
конфигурациями, т. е. ср(х) = const, поэтому множество Жкл
отождествляется с некоторым подмножеством пространства SB. Картина,
основанная на приближении среднего поля, предсказывает существование
фазовых переходов, нарушающих симметрию, и появление при низких
температурах не-
16.3 Сохранение симметрии (случай d = 2) 317
скольких фаз, соответствующих точкам фкл е ЖКЛ. Например, в случае модели
Изинга со спиновым пространством S1 имеется однопараметрическое семейство
конфигураций ф = (cos 0, sin0), 0 = 0(х) = const е [0, 2я),
минимизирующих взаимодействие, т. е. ЛКЛ - SK (Для сравнения: в обычной
модели Изинга со спиновым пространством 5° множество 1#Кл = {±1}=5°
дискретно.)
Для полей, определенных в пространствах малой размерности, т. е. для
полей ф(х), x^Rd, где d мало, фазы, предсказываемые приближением среднего
поля, не существуют ни при каких сколь угодно низких положительных
температурах, а появляются только при нулевой температуре. Определим для
данного взаимодействия наибольшую размерность dKP, при которой фазы,
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed