Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Г
&де | Г | - длина Г в R2 и константа не зависит от Г и Я.
308 Гл. 16. Фазовые переходы
Доказательство теоремы 16.2.1 в предположении, что доказана теорема
16.2.2. Мы покажем, что <ст(Д)ст(Д')) не стремится к нулю при dist(Д, Д')
оо. Согласно (16.2.4), <0(Д)> = 0, поэтому из предложения 16.1.3 будет
следовать, что вакуумное состояние не единственно.
Пусть р± (Д) = -j {1 ± О (Д)} обозначает характеристические функции для
положительных и отрицательных значений ср(Д). Поскольку <ср> = <ст(А)) =
0, имеем <ст(Д)0(Д')) = 1-4<р+ (Д)р-(Д')), и для завершения
доказательства достаточно показать, что (р+ (Д) р_ (Д'))^е-0^ / ^
при малых к.
Важное наблюдение состоит в том, что р+(Д)р_(Д') ф 0 только для таких
конфигураций поля ср, для которых граница фаз содержит контур Г,
разделяющий Д и Д'. Поэтому
(р (Д) Р_ (Д')> < X Рг(г)-
{Г: Д сп Int Г или Д' сп Int Г}
Очевидно, контур Г имеет длину |Г| ^4. Кроме того, число различных
контуров Г длины п не превосходит п23". Это утверждение доказывается по
индукцин. Начальную точку Г можно выбрать не более чем п2 способами. Если
на решетке имеется кривая длины /, то ее можно продолжить до кривой длины
(/ + 1) без изменения начальной точки только тремя способами, а именно
добавляя одно из ребер, примыкающих к последней точке. Таким образом, по
теореме 16.2.2
<Р+(Д)Р_(Д')>< X 1
п=4
Для того чтобы доказать теорему 16.2.2, изучим возмущения евклидовой меры
ёц, определяемые полиномами вида
з
Q(l, X)=YQAl\ X),
V = 1
где X - некоторое объединение квадратов решетки А и Qi (fe(1), X) = А,1/2
Yj $ (;ф ^\i/2 ~ А'"1) dx'
Ду <= X д;.
Qi (Д(2), X) = I In К Г1 Yj ^2> \ :ф ^2 - ф (Л^2;я'/2 dx>
Aj CZ X Ду
Q3(f\x)= ? ^(ф(Д()-ф(Д/)).
Л,., AjCzX
I i-1 1 = 1
Теорема 16.2.3. Существует такая константа К < оо, что для всех | ?<v) |
5^ 1 и для достаточно малых X
(eQ (1. *))^CeKJinM!UI.
Идея доказательства этой теоремы состоит в использовании многократных
отражений для сведения локальных оценок в бесконечном объеме к глобальным
оценкам в конечном объеме. В силу предложения 10.6.1 и теоремы 12.4.2,
достаточно оценить величину (eQv (?<v)' х))А в случае, когда все |<v>
равны между собой,
16.2 Двухфазная область 3091
а X есть прямоугольник, площадь которого не меньше некоторой,
фиксированной доли площади Л.
Доказательство теоремы 16.2.2 в предположении, что доказана теорема
16.2.3. Начнем со следующего тождества:
( П [Р+(Д)Р_(Д/) + Р_(А)Р+(Д')]\ = Рг(Г), (16.2.7).
\д, Д') е $ '
где $ - множество пар соседних квадратов, таких, что ребра Д f| Д'
образуют Г. Запишем р+ и р_ в виде
Р+ = *(0. (1/2) >/2) + 5С((1/2)Х-1/2, оо) = P+.s + Р+, Г
(16.2.8)
р- - Х(_оо, -(1/2) А,-1/2) ^(-(1/2) А,-1/2, о) - Р-. I P-.S'
где Х(о, ь)(1) -характеристическая функция интервала а < | < 6 и ? =
<р(Д) или ф(Д'). Функции р± с индексами s, I отвечают соответственно
"малым" и-"большим" значениям ср. Подставим (16.2.8) в (16.2.7); раскрыв
скобки, получим gl^l__g|ri членов. Так как все они положительны,
достаточно рассмотреть отдельный член и затем выбрать наибольший из них.
Таким образом, для каждой пары (Д/, Д)) ей? мы имеем произведение р+,
/ и.(tm) s и р_,; нл" s.
Если в этом произведении оба р имеют индекс I, мы воспользуемся
оценкой
Р+. I (Д() Р-. I (Д/) < [Я'/2 (Ф (Д*) - Ф (Д/))Г = ^ eQl lg-0.
где М- произвольное четное число. Остальные три типа произведений
содержат р+, , или р_, s. Эти члены мы оцениваем с помощью неравенства-
1 ^ (4/3) (1-Яф(Д)2), справедливого при 2Я1/2|ф(Д)| ^ 1. Заметим, что
я-1 - ф (Д)2 = ^_1 ~ ^ :ф ^2; ^¦*^
(- Д + Я)-1 (х, у) dx dy..
Последний член имеет порядок О(| In X|), поэтому, умножив его на Я, мы
получим величину, меньшую 1/3 при достаточно малых X. Таким образом,
находим оценку
1<2Я
Отсюда следует, что при четном М
^V1- jj :ф (л:)2: dx^ + 2Х ^ (х)2-. dx - :ф(Д)2:^. .
1то при четном М
р4(Д)<^4Я ^ (:ф (л:)2: - Я-^ dx J + |~4Я ^ :ф (л:)2 - ф (Д)2: dx j
Следовательно,
. м
р, (4,) < (Л'Р)'" [(¦4т)'" "а + (^г)" 1',,! С" >¦)" "*]
Заметим, что Я(1пЯ)2^ 1 при Я 1/2, поэтому множителем Ям/2(1пЯ)м можно
пренебречь. Опять раскроем скобки и из полученных таким образом слагаемых
(их число не превосходит ^ Г 0 выберем наибольшее. Максимальному члену
соответствует некоторый выбор полиномов Qv, отвечающих каждому квадрату
Д, примыкающему к Г. Пусть jfv обозначает множество квадратов (или пар
квад-
310 Гл. 16. Фазовые переходы
ратов при v = 3), соответствующих члену Qv> и пусть X v-объединение
квадратов, входящих в состав ^v. Положим & - [J п X = [J Хч. Тогда
V V
Рг(Г)<(40)'г1 П (4XX,2dldlf)M П (^,2dldlf)M X
A j ^ X 2
х П ^l2d/dtfi)M(eQ^ ^>|S=0.
(Дг, Ду)
Производные в точке ? = 0 вычислим с помощью интегральной формулы Коши.
Для этого продолжим функцию <expQ(?,X)> в комплексную область по
переменным lfy\ if- и проинтегрируем по произведению окружностей
| ^v) | =
= |g^| = 1.Так как полином Q линеен по %, имеем |exp(Q(g))| < exp(Q
(Re g)),
и по теореме Коши получаем:
Рг (Г) < (40)1 г 1 (4Я1/2)М ( 1 1+1 Й21+1 1 ' (Afl)I 1 + 1 1+1 Л ' X
