Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отражает тот факт, что непрерывное изменение параметров (т. е. 2)
приводит к скачкообразному изменению модели. В большинстве случаев для
доказательства существования фазовых переходов первого рода, т. е.
существования нескольких фаз, используется один из двух описанных выше
методов: изменение граничных условий на бесконечности или бесконечно
малая вариация 2. В квантовой теории поля фазовые переходы проявляются в
том, что свойства поля на больших расстояниях (т. е. состояния частиц и
процессы рассеяния) качественно отличаются от тех свойств, которые можно
было бы ожидать исходя из параметров 2. В качестве примеров можно указать
так называемый механизм Хиггса и солитоны.
В этом параграфе установлен критерий единственности чистой фазы, т. е.
единственности вакуума, основанный на исследовании двухточечной функции
для квантового поля Р(ф)г. Более того, в случае единственности вакуума
показано, что двухточечная функция позволяет найти физическую массу,
которая определяется как минимальный показатель экспоненциального
убывания корреляций. В заключение параграфа обсуждается связь между
фазовыми переходами и особенностями термодинамических функций.
Теорема 16.1.1. Пусть мера dpi на 9" удовлетворяет аксиомам. OS 0 - 3 и
неравенству ФКЖ (§ 4.4, 10.2). Тогда аксиома OS 4 (единственность
вакуума) выполняется в том и только в том случае, когда усеченная
двухточечная функция Швингера Sъ(х - у) стремится к нулю при \х - г/|->-
оо. В этом случае показатель
304 Гл. 16. Фазовые переходы
экспоненциального убывания функции S2 при |дс- t/|-"-oo совпадает со
щелью в спектре гамильтониана Н между уровнем энергии вакуума {нулем) и
остальной частью спектра.
Доказательство. Неравенство ФКЖ применимо к монотонным функциям от поля.
Пусть
г \ Г х при | * К 1, ,
aW==lsgn* при Р (*) = (!+а (*))/2.
Для неотрицательной функции / из SP положим
a(f) = сг(ф(/)), Р(/)=Р(Ф(/)).
Заметим, что
(Р (/) Р (g)) - (Р (/)> <Р (g)> = \ Кег (!) о (g)) - (ст (/)) (ст (g))].
Из равенства ф (/) = lim ka (k lf) следует, что произведения различных ст
или
А,->оо
р порождают ё. В случае, когда функции / имеют носители в R+, эти
произведения порождают ?Г+, а при отображении S + S+1Л'<^Ж они
порождают^. Пусть г|з s Ж есть образ некоторого произведения ст и р Мы
утверждаем, что существует такая функция / <= SP, supp / с R+, для
которой
<ф, 0>2<((ИЛй, e-W^if)Q) -(И/)0, й)2. (16.1.2)
Пусть теперь PLi есть ортогональная проекция на йеЖ Тогда (16.1.2) можно
переписать в виде
(ф, - Ра) ф) < <ф7?) Q. e~tH{\ -Ри)ф9)0). (16.1.3)
Если правая часть неравенства стремится к нулю при tоо, то (1-Ра)Ж не
может содержать собственные векторы Ж с нулевым собственным значением,
или, другими словами, вакуум Q единствен. В этом случае, в силу (16.1.3),
нижней части спектра оператора Н\(\-ри) х отвечают векторы, лежащие в
пространстве, порожденном векторами (1 -Ра)ф(/)й. Таким образом,
достаточность условий теоремы вытекает из сделанного утверждения
(16.1.2).
Докажем теперь это утверждение. Пусть Л = {/i............... /"}> где е
SP,
ft ^ 0. Положим
Пл = П р (/), 2Л = ? р (/).
[еЛ fеЛ
Заметим, что следующие функции являются монотонными функциями от ф:
ф (/*)> (ft)' ф (fi) - ° (fi). 2Л' ПЛ' 2л - ПЛ- О6-1-4)
Для проверки монотонности последней функции по каждой переменной р (/;)
используется тот факт, что 0 ^ р ^ 1.
Применяя неравенство ФКЖ, получаем, что
<ст, (ф2 - ст2)> - (ст,) <ф2 - сг2) > 0,
<(ф1 - cri) ф2) - <ф1 - сГ1>(ф2)>0.
Складывая эти неравенства, находим, что
<CTlCT2> - <CTl><CT2> < <ф1ф2> - <ф1><ф2>. (16.1.5)
Те же соображения, примененные к монотонным функциям П, 2, 2 - П, дают
<ПлПя> - (ПлХПя) <[2л2я> - <2л)<2в>. (16.1.6)
16.1 Введение 305
Левая часть неравенства (16.1.6) совпадает с левой частью (16.1.2), если
рассмотреть сдвинутые вдоль оси времени на t/2. Разложив правую часть
(16.1.6) и оценив ее сверху с помощью (16.1.5), получаем правую часть
неравенства (16.1.2). Таким образом, сделанное утверждение доказано, а
вместе с ним доказана достаточность условий теоремы. Их необходимость
вытекает из следующих элементарных предложений.
Предложение 16.1.2. Пусть Н - положительный самосопряженный оператор.
Тогда s. lime~tH есть проекция на собственное под-
t ОО
пространство оператора Н, отвечающее нулевому собственному значению.
Предложение 16.1.3. Пусть мера d\x на 9" удовлетворяет аксиомам OS 0 - 4.
Тогда для любых векторов г)}, % е Ж
0 = lim (г]з, e~tHy) - <г|5, Q)(Q, %).
t->oo
Доказательство. В силу предложения 16.1.2 и аксиомы OS 4,
Pq = |?2)(Q| = s. lim e~W. |
t -^ OO
Продолжим обсуждение фазовых переходов на формальном уровне. Пусть
имеется мера в конечном объеме Л. Тогда свободная энергия на единицу
объема определяется выражением
/ h ^ ф (л) dx \
ал (/*) = I Л |-1 In е A d(1J (16.1.7)
и, в силу монотонной сходимости (в случае взаимодействий, рассматриваемых
в гл. 11, т. е. взаимодействий вида: четный полином -j-линейный член, с
граничными условиями Дирихле), a\(h)-*~ -y-a(h) при Л | R2. Вычислим
