Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 123

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 187 >> Следующая

теперь da/dh. Меняя формально местами дифференцирование и два предельных
перехода Л f R2 (один в экспоненте, а другой в d(j,v), получаем, что
da/dh = <ф(л'))л, (16.1.8)
где <-)Л есть усреднение по мере, определяемой внешним полем h.
Аналогично, п-я производная выражается через усеченную "-точечную функцию
Швингера:
- = jj ((ф(х)ф(г/)) - (y(x))(q>(y)))dy, (16.1.9)
J • • •> 4>(Xn))rdx2 ... dxn. (16.1.10)
Заметим, что da/dh есть намагниченность, a d2a/dh2 - магнитная
восприимчивость. На языке гл. 5 функция a(h) определяет уравнение
состояния, а производные dna/dhn являются термодинамическими функциями.
Из неравенства ФКЖ или неравенств Гриффитса следует, что d2a/dh2~^ 0.
Поэтому а является выпуклой функцией от h. Кроме
306 Гл. 16. Фазовые переходы
того, намагниченность da/dh монотонно возрастает и, следовательно,
непрерывна всюду, за исключением, быть может, счетного множества значений
h. Точка Л0, в которой функция da/dh имеет разрыв, является точкой
фазового перехода первого рода. В этой точке имеется по крайней мере две
фазы (возникающие как односторонние пределы da/dh и <->л), а именно (-)ft
+ 0 = Пт(-)Л .
- г-"0
Справедливо и обратное утверждение. Предположим, что функция da/dh
непрерывно дифференцируема в точке h - Iiq. Тогда, в силу (16.1.9),
усеченная двухточечная функция интегрируема. Так как 0 ^ <ф(*)ф(*/)>г =
<cp(0)Q, е~\х~у\н(1 - Рд)ф(0)Й> монотонно убывает с ростом \х - у|, то
<ф(лг)ф(г/)>г-^-0 при \х -
- у\ ->¦ оо. Поэтому, в силу теоремы 16.1.1, в теории с h = h0 любая
мера является чистой фазой. Таким образом, при h = ho не происходит
фазового перехода.
Термодинамические функции могут иметь не только скачки, но и другие
особенности. В этом случае данному лагранжиану отвечает единственная фаза
и фазовый переход называется переходом второго или более высокого рода.
Обычно критические точки являются точками фазового перехода второго рода;
по определению, критическими точками называются граничные точки (в
пространстве лагранжианов 3?) многообразия фазовых переходов первого
рода.
16.2 Двухфазная область
Рассмотрим простейший случай, для которого удается доказать существование
по крайней мере двух фаз и фазового перехода первого рода, а именно
случай полиномиального взаимодействия вида
У(ф) = А:(ф2-А_1)\1/2. 0<Л<1, (16.2.1)
в размерности d = 2. Здесь индекс А,1/2 обозначает виково упорядочение по
отношению к ковариационному оператору (-A-j-Я)-1. Аналогичные методы
применимы в случае, когда ф4 заменяется четным положительным полиномом. С
помощью соответствующего викова упорядочения любой четный полином
четвертой степени, приводящий к двум фазам, можно представить в виде
(16.2.1), см. [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976Ь]. Обобщение изложенных здесь
методов позволяет доказать существование двух фаз для некоторых
взаимодействий V, не являющихся ни четными, ни симметричными относительно
какого-нибудь ф; см. гл. 20.
Теорема 16.2.1. Пусть d\k - мера на &'{R2), построенная, как в гл. 11, с
помощью полиномиального взаимодействия V вида
(16.2.1) с массой m = А,1/2. Тогда для достаточно малых А, > 0
16.2 Двухфазная область 307
мере dp соответствуют по крайней мере два вакуумных состояния, т. е. в
системе имеется несколько фаз.
Доказательство этой теоремы строится по образцу доказательства
аналогичного результата для модели Изинга в § 5.4. Для того чтобы
исключить флуктуации поля на малых расстояниях, не имеющие отношения к
проблеме фазовых переходов, мы усредним поле ф по небольшим областям.
Точнее, мы покроем R2 решеткой единичных квадратов А; и будем
рассматривать
Ф (Л) = jj ф (х) dx. (16.2.2)
д
Тогда выражение
сг(Л) = sign Ф (А) (16.2.3)
определяет изинговы переменные, так как а принимают значения ±1 и
определены в узлах целочисленной решетки (центрах квадратов
А,). В силу симметрии меры dp относительно преобразова-
ния ф-v-ф,
<ог(Д)>=$ <х(Д)йГц = 0. (16.2.4)
Для доказательства теоремы необходимо исследовать распределение
вероятностей для границ фаз. Почти каждой конфигурации классического поля
фе^'(^2) отвечает конфигурация модели Изинга ог(А). Здесь о <= {±1}г', т.
е. а есть функция на решетке Z2 (рассматриваемой как множество центров
квадратов А,-) со значениями ±1. Граница фаз для конфигураций ф или ст
есть граница множества ст_1(1), или, другими словами, множество таких
отрезков, которые разделяют два квадрата с разными знаками сг. Поскольку
мы имеем дело с трансляционно-инвариантной теорией в бесконечном объеме,
множество конфигураций, соответствующих определенной границе фаз:
да~1 (1) = граница фаз ст = граница фаз ф, (16.2.5)
имеет меру нуль. Поэтому в качестве элементарных событий мы рассматриваем
множества
{ф: Г с граница фаз ф}, (16.2.6)
где Г - некоторое конечное множество отрезков на решетке. Допуская
некоторую вольность, мы будем использовать обозначение Г и для множества
конфигураций (16.2.6) в ff" (R2).
Теорема 16.2.2. Для достаточно малых %
рг (Г) = Jj rf|i < e-const 1~1121 г 1,
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed