Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
контуру / со скоростью v (см/с), т. е.
J = pv. (15.1.2)
Определим момент |и тока J относительно центра контура:
ц = ^ г X J = -у- (л/"2) п = (ток) (площадь) п. (15.1.3)
i
Здесь с - скорость света, а п - единичный вектор нормали к плоскости
контура (ориентация определяется направлением тока).
В общем случае магнитный момент плоского (но не обязательно кругового)
контура равен
1 Г 1
ц = -^ rX J = -(ток) (площадь) п, (15.1.4)
i
где п - нормаль к плоскости контура.
Для оправдания такого определения магнитного момента |и покажем, что
вращающий момент, действующий на круговой контур, определяется выражением
(15.1.1). Силу F, действующую на единичный заряд, можно найти по формуле
Лоренца (при нулевом электрическом поле)
F = jvXB. (15.1.5)
По определению, вращающий момент Т равен
Т = $rXF= JrX^(vXB). (15.1.6)
i
294 Г л. 15. Магнитный момент эаектрона
Введем в качестве параметра на контуре угол 0е[О, 2я), причем углу 0 = 0
пусть отвечает направление вектора В; - проекции В на плоскость контура
I. Поскольку r-v = 0,
2д 2п
T==irS rX(vXB)rd0=-e-$ v(r-B,)rrf0. (15.1.7)
о о
Пусть 1 и 2 обозначают направления в плоскости контура, соответственно
параллельное и перпендикулярное к Ви Тогда
vi - -и sin 0, v2 = v cos 0, г • В; = rBi cos 0.
В силу тождества cos0 sin 0 dQ - 0, мы получаем, что Г1=0 и
Т = (0, (с-1 pv) (яr2)Bi, 0) = ц X В.
Таким образом, справедлива формула (15.1.1).
Предположим далее, что плотность заряда р пропорциональна плотности
массы, т. е.
p = (e/m)p mass, (15.1.8)
где е/т- фиксированное отношение заряда к массе. Тогда
^ = rXPv=2^-SrXpraa3sV=(^-)L=№BL, (15.1.9)
где L обозначает угловой момент зарядов в контуре с током. Коэффициент
пропорциональности между магнитным моментом распределения зарядов и.их
угловым моментом называется гиромагнитным отношением и обозначается g.
Единицей магнитного момента является магнетон Бора1), равный, по
определению,
\1В = е/2тс, (15.1.10)
где е/т - отношение заряда электрона к его массе.
Магнитный момент электрона равен g\.iB. Согласно классическому подсчету,
приведенному выше, g=l. Для диракова электрона, рассматриваемого в §
15.3, g - 2. Аномальный магнитный момент электрона, учитывающий полевые
эффекты, приводит к значению g = 2,002; см. § 15.4.
15.2 Тонкая структура атома водорода и уравнение Дирака
При пренебрежении спином электрона п-й уровень энергии атома водорода
имеет кратность л2; см. § 1.7. Рассмотрим первое возбужденное состояние п
- 2 с кратностью вырождения п2 - 4. С учетом двух возможных спиновых
состояний электрона и двух спиновых состояний протона вырождение имеет
кратность 4л2 = 16. Спинам соответствуют магнитные моменты. Магнитные
моменты
i) См. § 15.3. - Прим. перев.
15.2 Тонкая структура отома водорода и уравнение Дирака 295
взаимодействуют между собой, что приводит к изменению гамильтониана,
изученного в § 1.7. Точный вид возмущающей добавки приводится ниже; он
выведен в § 15.3 на основе нерелятивистского предельного перехода в
уравнении Дирака. Этот дополнительный член, называемый спин-орбитальным
взаимодействием, изменяет спектр гамильтониана Н и частично разрушает
4п2-кратное вырождение п-то уровня энергии. Такое расщепление спектра,
связанное со спином и магнитным моментом электрона, называется тонкой
структурой. Ему и посвящен этот параграф.
Напомним, что в соответствии с § 1.3 спиновое пространство S, отвечающее
значению спина электрона s = 1/2, есть 5 = C2s+1 = = С2. В этом
пространстве угловой момент определяется двумерным представлением SD{it2)
группы SU(2) (накрывающей группы для группы пространственных вращений
50(3)). Соответствующее гильбертово пространство (без учета движения
центра масс) есть Ж = L2(R3)(r) 5, и полный угловой момент определяется
представлением SU(2) в Ж.
В частности, представление SU(2) в Жп(r) S можно разложить с помощью формул
Клебша - Гордана:
0") (r) 0(1/2) = 0U+1/2) 0 0(/-1/2) (/ Ф 0) ,
(15.2.1)
0(0) (r) 0(1/2) _ 0(1/2).
Таким образом, разложение (1.7.10) заменяется разложением
Жп (r) S = ^}(2'1_1)/2(r) 2S)m~m. (15.2.2)
i=i
Можно интерпретировать (15.2.2) как утверждение о том, что электрон в
атоме водорода имеет полный угловой момент J ft, где
J=L + S. Здесь L - "орбитальный" угловой момент, связанный
с вращением вокруг ядра, a S - внутренний спин 1/2. Неприводимое
представление в разложении (15.2.2), отвечающее полному угловому моменту
/, возникает из комбинации представлений, отвечающих спину 1 /2 и
орбитальному угловому моменту / = /± 1/2.
Тонкая структура атома водорода может быть получена путем включения в
гамильтониан Н возмущения
W(X! - *2)L-S, (15.2.3)
описывающего взаимодействие орбитального момента и внутреннего спина
электрона (вид W можно найти из взаимодействия магнитного момента
движущегося электрона с кулоновым полем; см. [Ваугп, 1969]). Разложение
(15.2.2) объясняет появление п собственных значений в Жп(r) S, так же как и
их кратности. Заметим, что dim Жп (r) 5 = 2п2. Вычисление в первом порядке
