Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
теории возмущений сдвига энергии, связанного с членом (15.2.3), позволяет
приближенно определить тонкую структуру.
296 Гл. 15. Магнитный момент электрона
Дирак предложил лоренц-инвариантное уравнение для волновой функции
электрона, принимающей значения (в случае одной частицы) в пространстве
L2 (#3) (r) {5 (c) 5}. (Заметим, что пространство S(c)S возникает естественным
образом при разложении представления группы Лоренца Ф^!2< °> (c) i/2)
со спином 1/2 на
компоненты, неприводимые относительно собственной группы Лоренца (не
содержащей отражений).) Гамильтониан Дирака для частицы массы ц в
кулоновом поле -e2/M есть дифференциальный оператор первого порядка вида
з
H = a^-cJ]arih^r- Т7Г (15-2'4)
/=1 1
Здесь а,- - постоянные 4 X 4-матрицы, действующие в 5 (r) 5. Кроме того,
матрицы а задают представление клиффордовой алгебры
осга/+ ос/осг = 26;,7. (15.2.5)
Собственные значения оператора (15.2.4) могут быть найдены точно. Они
имеют вид
Еn. = nfl+(------------------^(tm)=Y1 1/2- (15-2.6)
' 1 \(п- j - 1/2) + л/(/ + М2)2 -а2 ) f
где a - e2/(hc) - постоянная тонкой структуры; см. (1.7.2). В (15.2.6) п
- 1, 2, ... - главное квантовое число, а /=1/2, 3/2, ..., п-1/2. Заметим,
что значения / совпадают со значениями углового момента з (15.2.2).
Кратности собственных значений совпадают с размерностью соответствующих
представлений, поэтому / - квантовое число углового момента.
При а<С/+1/2 выражение (15.2.6) можно разложить в ряд по степеням а:
1+-?(7^-1)}+ОК). (15.2.7)
Член (д есть масса покоя электрона. Член порядка О (а2) совпадает с
нерелятивистским выражением (1.7.6) для Еп, а член порядка О (а4)
определяет сдвиг, связанный со спин-орбитальным взаимодействием. Вычислив
этот член, мы получим измеренную величину тонкой структуры.
15.3 Теория Дирака
Классическая модель контура с током, рассмотренная в § 15.1, дает
значение магнитного момента
Цкл === jiisS, (15.3.1)
где S = (1 /2) сг-внутренний спин, а
|iB = eh/2mc = 0,578 ... X Ю-14 МэВГс-1
15.3 Теория Дирака 297
есть магнетон Бора. Магнитный момент электрона можно измерить, наблюдая
эффект Зеемана, т. е. изучая расщепление уровней энергии во внешнем
магнитном поле h (рис. 15.2). Результаты экспериментов указывают на то,
что истинное значение момента равно 2|Лкл, где Цкл определено выражением
(15.3.1), т. е. гиромагнитное отношение g = 2.
Теория Дирака прекрасно ЭнеР(tm)я
объясняет это значение g. Если электрон находится во внешнем магнитном
поле с потенциалом А(х), то гамильтониан (15.2.4) изменяется следующим
образом: з
Н = а4ц - с (ihd/dXj -
/=1
Н0 + еа • А,
(15.3.2)
где Н0 - гамильтониан свобод-
I
WulM.
-Ihl
Рис. 15.2. Нерелятивистский эффект Зеемана: расщепление уровня энрегии Еп
(§ 1-7) в слабом магнитном поле А.
ного электрона.
Среднее значение гамиль тониана (15.3.2) в состоянии ip (если
использовать естественное скалярное произведение в пространстве дираковых
спиноров) равно
(15.3.3)
где J = у/= а4а/= 1, 2, 3 и гр = гр*а4. Поправочный
член JA имеет вид скалярного произведения, совпадающего с видом
классической энергии плотности тока в магнитном поле. Истолкуем теперь
этот результат.
Используя уравнение Дирака для гр, а именно
Yj^(A4r + iTA')^==mc^
.41
it, ток /ц = ег|
^ = (-щ) (Kv4>)
где 74 = х4 = it, ток можно переписать в виде
eh
2 тс
где
'HV
о; tY(i> YvJ-
(15.3.5)
298 Гл. 15. Магнитный момент электрона
Второй член в правой части (15.3.4) имеет вид шредингерова электрического
тока. Последний член содержит лишний множитель с~1, но его можно не
учитывать в пределе при с-"- оо. Первый член отвечает взаимодействию с
магнитным полем. Действительно, подставляя этот член вместо J-А в
(15.3.3), после интегрирования по частям (поверхностным членом
пренебрегаем) получаем, что
- X \ ^ qo^F^dx. (15.3.6)
Заметим теперь, что матрицы yt образуют клиффордову алгебру:
{Yn> Tv} 26|xv, Ц, v = 1, 2, 3, 4.
Дираково представление есть неприводимое представление этой алгебры в
пространстве 4 X 4-матриц. В этом представлении, единственном с точностью
до унитарной эквивалентности,
(15.3.7)
где (х, v = 1, 2, 3, а ах, X - 1, 2, 3, - матрицы Паули
*¦=(? '")¦ °*=С "")¦ -?)• <15-з-8)
Следовательно, выражение (15.3.6) равняется магнитному члену
("me ) \ ' В dx = 2^в 5 ^ dX'
где Fa = eukBk, плюс член, связанный с электрическим полем (этому члену
отвечают матрицы сг4/ с нулевыми элементами на диагонали). Последнее
выражение есть в точности взаимодействие с магнитным моментом, для
которого g - 2.
15.4 Аномальный магнитный момент
Тщательное экспериментальное измерение, проведенное Кушем (Kusch) в 1947
г., показало, что в действительности g отличается, хотя и очень мало, от
2, а именно K = (g - 2)/2 = 0,001. Величина и = Хэл, характеризующая
разность между истинным значением g и значением, предсказываемым теорией
Дирака, называется аномалией магнитного момента. В настоящее время
величина этой аномалии, полученная в результате вычислений, совпадает с
