Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
связная компонента вновь получившейся диаграммы должна содержать по
крайней мере один in-отросток и один out-отросток (рис. 14.4). При этом
компоненты, состоящие только из одного внешнего отростка, в этом
определении не учитываются.
Вне рамок теории возмущений ядро К определяется уравнением (14.4.2)
[Glimm, Jaffe, 1975е]. Однако, пока нет никакой информации о ядре К,
полученной из других источников, этот факт не представляет особого
интереса. Для анализа функций К и jR обсудим несколько общих аксиом. Мы
будем различать частные утверждения, которые можно доказать для малых
констант связи и которые служат для обоснования вычислений по теории
возмущений, и более общие утверждения, которые должны быть справедливы
для всех некритических теорий.
BS 1 (Полнота полиномиальных состояний). Для фиксированного значения
энергии Б существует такое / = Je, что состояния с энер-"
14.4 Ядро Бете - Солпитера 289
гией не ортогональны семейству (14.4.1). В формуле (14.4.1) Q е= 1
является евклидовым вакуумом, т. е. Qg^, a xv^Rd- точка евклидова
пространства-времени, причем координата времени ха, v неотрицательна.
Евклидов вектор (14.4.1) в пространстве (Ё? проектируется в физическое
гильбертово пространство Ж.
Эта аксиома была проверена при малых константах связи в модели Х,Р(ф2)
[Glimm, Jaffe, Spencer, 1974]. Здесь, правда, мы должны взять константу
К='к(Е) достаточно малой. В частности, при анализе связанных состояний
вблизи двухчастичного порога мы должны положить Е = 4т - е, е > 0, и
рассмотреть векторы с J = 2 в подпространстве четных состояний.
BS 2 (Решение одночастичной задачи). Самое слабое допущение- наличие
изолированного одночастичного спектра. Более сильное - ограниченность
функции 2(р) и ее аналитичность в областях (в евклидовом пространстве)
для четных теорий: р2 >-(Зт)2 -(- е (14.4.5а)
и
для нечетных теорий: р2 >-(2т)2е. (14.4.5Ь)
Аналитичность 2(р) в областях (14.4.5) доказана для модели кр(ф)2 при
малой константе связи [Spencer, 1975]. Однако этой области аналитичности
соответствуют малые значения энергии связи, которые в случае полей общего
вида могут оказаться и большими.
BS 3 (Аналитичность К). Самое слабое допущение состоит в том, что для
фиксированного Е достаточно сложные ядра К (при больших п) должны быть
аналитическими в области р2 ^ -Е.
При п = 2 положим
*tot = (*1 + Х2) /2, Xrel = (Xi - Х2) /2
и аналогично определим г/tot, Уге\. Пусть р и q обозначают евкли-
довы импульсы, сопряженные соответственно к х и у. Тогда р\ -(-+ р2 =
Ptot и pi-Р2 - Рте\ сопряжены к jftot и хте1. То же самое верно для <7tot
и qreь В силу трансляционной инвариантности, ядро К = К(х,у) является
функцией только от разности аргументов. Это означает, что ядро оператора
К имеет преобразование Фурье вида
б (ptot ^tot) К (рtot, Рre!, ^rel) .
В подпространстве, в котором импульс принимает фиксированное значение
ptot, функция R является ядром оператора из пространства функций от
переменной qret в пространство функций от prei-В силу лоренц-
инвариантности, без ограничения общности можно положить ptot = 0.
Определим Е = ip?ot- Предполагается, что в области
|?|^4m - е, |lmprei|^m - е, |Im^rei|^m - е (14.4.6)
290 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
функция К аналитична и ограничена. При малой константе связи в модели
Р(фЬ эта ограниченность была установлена для чуть меньших областей
[Spencer, 1975]. При этом sup)^| при Я-"-0 является величиной порядка
О(к).
Резюмируем известные результаты.
I. Компактность оператора К, ограниченность Ro и R. Ниже мы введем
пространства Пэли - Винера - Соболева А&. При подходящем выборе пары
пространств из семейства Л6 операторы R0, R и К действуют из одного
такого пространства в другое, причем Ro и R ограничены, а К компактен.
II. Продолжение на другой лист. Функция Ro аналитична всюду в области
(14.4.6), кроме разрезов с началом в точках Е - ±2т. Эти точки являются
для Ro точками ветвления второго порядка, и функция Ro аналитически
продолжается на двулистную рима-нову поверхность при обходе вокруг точек
ветвления. Из теории Фредгольма следует, что функция R также имеет
мероморфное продолжение на второй лист римановой поверхности функции R0.
Все полюсы функции R на первом листе лежат на вещественной осн Е и
совпадают с точечным спектром массового оператора (энергии связанных
состояний). Полюсы функции R на- втором листе интерпретируются как
резонансы.
III. Спектральные свойства. Для четной Р(ф)2-теории с малой константой
связи существует не более одного связанного состояния. В этой модели
известна асимптотическая полнота при Е sg: 3m - ей получена матрица
рассеяния для состояний: частица вместе со связанным состоянием (при всех
значениях энергии). Для этой модели ряды теории возмущений являются
асимптотическими.
Пространства Л6 состоят из функций от двух переменных: хге1 - лс°е1,
хге1. Здесь б обозначает мультииндекс
6 = (6Р 62) = (6°, 6" fig, 62),
а 6 - вещественный параметр (т. е. скаляр, а не вектор). Простейшее из
