Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
совпадают, например
0 -ti+i ^ е/, k + I i ^ I-1; ?;-/;+) >е/. (14.1.9)
В определении Та рассмотрим сначала перестановки я е @т-*, которые
переводят множество индексов {k + 1, ..., /} в себя, т. е. имеют вид я =
(я,_4, лт-г)е s X @ш-(. Так как носители функций fi в пространстве
скоростей не перекрываются, то носители основных функций f\ k + 1 ^ i ^
I, с точностью до величин порядка 0(t~M) (предложение 13.4.3)
пространственно-подобно отделены друг от друга. Поэтому, в силу
локальности, вклад перестановки я в сумму Та с точностью до 0(t~N) не
зависит от ее части п1~к. Это означает, что при суммировании по
перестановкам я'~к е (c)/_*¦ начальные I - k полей могут быть вынесены за
знак хронологического упорядочения, а суммирование по перестановкам ят-/
s @т_; приводит к хронологическому упорядочению последних m - I полей.
Итак, мы показали, что суммирование по перестановкам п е в/-* X @т-;
функции (14.1.6) совпадает с аппроксимацией (14.1.8) с точностью до
величины порядка 0(t~N).
Осталось рассмотреть перестановки я ф. X (r)m-i, т. е. те, которые не
сохраняют сектор (14.1.9).Носитель соответствующего слагаемого в Т-алежит
в множестве
*o,nU)~xo,nU+i)>-const =~max{|s|: sesuppa}.
14.2 S-матрица 281
Для любой из рассматриваемых перестановок я найдется такое /, что я(/ +
1)<
< / < я(1). Поэтому
*пЦ) ~ *я(/+1)< ~~ et и I х0, к(П ~ (п(1) I + i х0, я (/-И) - *я(/ + 1)1
^ 8^3-
Согласно предложению 13.4.3, вклад этой перестановки в Га в формуле
(14.1.6) имеет порядок 0(t~N). |
14.2 S-матрица
Формулы редукции Лемана - Симанзика - Циммермана выражают 5-матрицу с
помощью функций т из § 14.1. Эти формулы являются простым следствием
теоремы 14.1.1.
Предложение 14.2.1.
/ _П_ m \ / П m \
{s П ф (ftf П ф (gsf а) = (П ф (f ,)0UtQ, П ф (gsf q) •
(14.2.1)
Доказательство. <pout = S<plnS-1. |
Предложение 14.2.2. Пусть для функций fi выполнено (13.5.10) и их
носители в пространстве скоростей не перекрываются. Тогда
? п <р(М"\ =
Х = {1...п} \1фх /аХ /
= \ (Д 0*i)^ (х) dx dt. (14.2.2)
Доказательство. Из доказательства теоремы 14.1.1 видно, что интеграл по
dt сходится со скоростью 0(t~N), поэтому доказываемое тождество
получается при помощи многократного применения формулы Ньютона -
Лейбница. При этом If ,=+°°
подстановка I/ тоже вычисляется с помощью доказательства теоре-
мы 14.1.1. |
Замечание. Простые комбинаторные выкладки, связанные со свободным полем,
позволяют избавиться от суммирования по X в левой части тождества
(14.2.2) и с помощью равенства (14.2.1) получить выражение элементов 5-
матрицы через функции т. Мы опускаем этот шаг и продолжаем вычислять
правую часть (14.2.2).
Предложение 14.2.3. В условиях предыдущего предложения S (Й т" М
dxdt=*\ Д [/Am * (О-m2)ft (ху)] та (х) dx,
где А", (р) =* в (р) б (р2 + ms).
282 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
Доказательство. Левую часть равенства можно преобразовать так:
п
(p2l + m2)fl(pj)xa(~p) dp dt.
После замены переменных dp = dpd(p0 - е(р)ц(р)) благодаря быстрому
убыванию по t можно поменять порядок интегрирования по dt и dp. Это
приводит к выражению
При этом первое равенство является следствием равенства б-функций в обеих
его частях. Щ
Замечание. Разложение S-матрицы по теории возмущений является
асимптотическим, во всяком случае в сверхперенормируе-мых теориях это
удается установить математически точно. В четырехмерной квантовой
электродинамике, например, коэффициенты разложения подсчитаны вплоть до
шестого порядка. Здесь требуется аккуратное исследование хронологически
упорядоченных произведений. Достаточно показать, что особенности,
возникающие при совпадении точек, по крайней мере не выводят нас из
класса обобщенных функций, так что функции Швингера принадлежат
пространству 9". Такого рода оценки следуют из евклидовых аксиом в той
форме, в которой они здесь приведены. Обсуждение этих вопросов в более
общей постановке см. в работе [Eckmann, Epstein, 1979а].
14.3 Перенормировки
Простейшей из перенормировок квантовой теории поля является
перенормировка вакуума. В евклидовой формулировке это есть утверждение о
том, что мера d\a из § 6.1 гл. 11 является вероятностной. Это означает,
как и в § 11.1, что выполнено деление на нормирующий множитель Z. В
формализме канонических ансамб-
(р? + in2) fj (Pj) та (- р) dp =
П
п
П
14.3 Перенормировки 283
лей процедуру перенормировки вакуума можно рассматривать как состоящую из
двух отдельных этапов. Напишем
1 = ZIZ = Z-'\<ryea№" <hc-
= i ехр - hi Z - ^: /' f'p fj)): dx] d<pc.
В качестве области взаимодействия возьмем прямоугольник Л. Тогда In Z
имеет асимптотическое разложение In Z = с\Т + с2, где Т-длина временного
интервала, в течение которого происходит взаимодействие, а |Л|/Г
фиксировано (см. гл. 11). Коэффициент Ci = ЬЕ можно интерпретировать как
аддитивную константу, дающую вклад в гамильтониан Я. В свою очередь е~с2
- это мультипликативная константа, с помощью которой норма вакуумного
