Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения Дайсона в форме (14.3.3b) можно доказать, что при малых
константах связи одночастичный гиперболоид изолирован (например, что М~>т
в (14.3.2)). Пусть So имеет голую массу то. Нам нужно знать, что при
М2 > т2 функция Г(2) аналитична в полосе Rep2 ^ -М2, а функция Е мала при
малых константах связи. После этого, применив
теорему Руше, получим, что функция Г(2> от переменной р2 имеет в
окрестности точки -т2 простой нуль. Этот нуль определяет (физическую)
массу т. С другой стороны, этот факт следует из монотонности функции Г
[Burnap, 1977].
'vK +,,'i
Рис. 14.3. Разложение Д.ф", до второго порядка Д.ср4-модели.
Таблица 14.1. Расходимости перенормировок на малых расстояниях как
функций параметра и ультрафиолетового обрезания
: Р(ф) : 2 Юкаваг •"з "4
Вакуумная энергия конечная (In %)2 я2 и4
Перенормировка вакуумной конечная конечная In % X3
волновой функции
Масса конечная In % In и X2
7=:перенормировка величины конечная конечная конечная 1п У,
поля
Заряд конечная конечная конечная In ^
Последней перенормировкой является перенормировка заряда. Ее определение
можно ввести многими способами с помощью тех или иных требований. В
модели Тар4 во все определения входит связная четырехточечная функция,
так как последняя, в силу результатов § 14.2, задает процесс рассеяния
двух частиц. По любому из этих определений физический заряд Яф"3 с
помощью теории возмущений представляется в виде степенного ряда по %,
коэффициенты которого выражаются с помощью фейнмановых диаграмм (рис.
14.3). Числовые значения коэффициентов, соот-
/4.4 Ядро Бете - Солпитера 287
ветствующих диаграммам, зависят от способа перенормировки. Перенормировка
заряда - это всего лишь обращение функционального соответствия А,фИз = А-
физ (А<)> так что выражение для к = = М^физ) в виде РяДа п0 ^Физ
подставляется вместо X в соответствующий лагранжиан. При одном из
способов перенормировки в качестве Яфиз выбирается, например, значение
четырехточечной урезанной связной функции перенормированного поля фперен
при значении импульса р = 0. Урезание здесь означает, что, как и в
предложении 14.2.3, оператор -? + т2 применяется к каждой переменной.
Результаты этого параграфа представлены в таблице 14.1.
14.4 Ядро Бете - Солпитера
Уравнение Бете - Солпитера применяется для изучения четырехточечной, а в
общем случае и n-точечной функции при ограниченных п, n^LN. Это уравнение
содержит новую неизвестную К - ядро Бете - Солпитера (и, таким образом,
может считаться определением К). В предположении, что ядро К аналогично в
пространстве энергии-импульса, уравнение Бете - Солпитера можно применить
к изучению спектра масс и состояний рассеяния с низкой энергией, которые
имеют вид полиномов ограниченной степени
<p(*i) ... cp(x/)Q, (например, j - 2). (14.4.1)
Этот метод применим к задаче о связанных состояниях и резонансах, а также
к вопросам асимптотической полноты при низких энергиях. Требуемые
аналитические свойства ядра К могут быть при малых константах доказаны
для сверхперенормируемых моделей теории поля. Результаты, установленные к
настоящему времени, приводят к ожидаемой картине, но все это еще не
доказано с нужной степенью общности. Некоторые успехи достигнуты и в
реализации обратной программы, т. е. установления аналитических свойств
ядра К исходя из предполагаемых свойств спектра масс [Bros, 1970], [Bros,
LaSalle, 1977].
При п - 2 уравнение Бете - Солпитера - это уравнение Дайсона. При п = 4
уравнение Бете - Солпитера тоже имеет резольвентную структуру
R = Ro - RoKR. (14.4.2)
Для того чтобы упростить изложение, рассмотрим теорию с четным полиномом
взаимодействия, в которой функции Швингера нечетного порядка равны нулю:
S(2/+I> = 0. Мы будем работать в евклидовом пространстве-времени.
Оператор R0, который играет роль "свободной резольвенты", по определению
равен Rэ (х, у) = S<2> г (*, - ух) SV г (*2 - у2) +
+ SW r(*i _ y^S^T(x2-г/j), * = (*,, х2), у = (ух,у2). (14.4.3)
288 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы Кроме того,
R(x, У) = (<р(хi)q>0c2), (1 - PaJipWipM^
= S<4>(*J, х2, уи y2) - Si2Hxl - x2)SW(yl - y2), (14.4.4)
где Ра - ортогональная проекция в евклидовом гильбертовом пространстве на
подпространство, порожденное вакуумным вектором Q = 1. Заметим, что
имеются как обобщения уравнения
(14.4.2), так и альтернативные ему уравнения, но мы здесь не обсуждаем
эти вопросы.
В теории возмущений ядро К определяется как сумма по всевозможным связным
диаграммам с четырьмя внешними (урезанными) отростками, неприводимым
относительно двухчастичного канала. Чтобы объяснить последний термин, в
каждой диаграмме, дающей вклад в К, сопоставим двум из четырех внешних
отро-
Рис. 14.4. Диаграммы для К в модели со взаимодействием Р(<р) = <р*.
стков переменные х (out-отростки), а двум остальным переменные у (in-
отростки). Тогда неприводимость относительно двухчастичного канала
означает, что после стирания двух внутренних ребер диаграммы каждая
