Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 111

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 187 >> Следующая

носитель сцектральной меры группы операторов сдвига, и, следовательно,
носитель функции Ж(р 1, ..., р") лежит в множестве
Ps=tpt^V' = (13.5.5)
i=s г-i
Заметим, что множество V-полугруппа, т. е. замкнуто относительно
сложения. Из соотношения (13.5.2) или из равенства (13.5.1) при помощи
индукции по п
следует, что носитель функции Жт также лежит в множестве (13.5.5).
Главный момент при переходе к усеченным функциям состоит в том, что
начало координат р = 0 удаляется из носителей, т. е. множество V
заменяется на
Для доказательства предложения воспользуемся индукцией по п. Для п = 1
утверждение о том, что Ps s F" s ф 1, относится к пустому множеству и,
значит, верно. Предцоложим, что утверждение доказано для / ^п-1. Пусть
функция g<^9!{Rd) обладает свойством supp g f| Vc: {0}. Тогда
^ g (а) Жг (*j....x{_v Xj + a, ..., xl + a) da =
= (<p07-i) ••• \je~ia-pg(a)da <f(Xj) ... ф(*,)Й^ =
= g( 0)(Q, cp(x:) ... ф (л:/_1)й)(й, ф(*у) ... Ф (*i) Q) =
= Й(0)Ж/_1(х1........х1_1)Ж[_1+1(х1........*,).
Теперь положим / = п и подставим сюда выражение (13.5.1). В результате
получим, что
g(0) Ж]_1Жп_1+1 = ^ g (а) (*1( .... Xj_lt Xj + a....хп + a) da +
tX. ..п) Фп е S'
276 Гл. !3. Теория рассеяния: нестационарные методы
Согласно индуктивному предположению, ненулевой вклад в последнюю сумму
могут дать только те разбиения it, которые являются измельчениями
разбиения
Л j {{1. ... /-1}, {/...п}}. Суммарный вклад от таких разбиений равен
g(0)^/_i3^"_/+i в силу (13.5.1). Итак,
О = ^ g (а) УГтп (*,.хн1, xt + а...........хп + a) da =
= g (Pi) \Pr 0.
Этим завершается индукция, а вместе с ней и доказательство. 0
Переформулируем и обобщим теорему 13.3.2. Асимптотический предел при t-
>±oо может быть полностью описан как эволюция основной функции
fe^(Pd). В самом деле, действие физической
динамики ф (а'о, х)-> ф (х0 + х) и соответствующая замена пере-
менных эквивалентны переходу f (х0, х)-> f(x0- /, х), или, на языке
преобразования Фурье, f-^euP'j при следующем соглашении о знаках в
интеграле Фурье:
f (х) = (2n)~dl2 J eipxf (р) dp, (13.5.6)
р ¦ X - - р0х0 + р • X. (13.5.7)
При заданных начальных условиях /0, конструк-
ция поля г|э по свободному полю грсв = ф, данная в § 13.3, эквивалентна
замене интегрирования основной функции
f (У) = fo (х)s (Уо) + to (х) б' (у0) с полем г|з на интегрирование
основной функции
f(x)=\l (h (х - у) f0 (у) - dxJi (х - у) /о (у)) dy
или
l(p) = (fo(p) + ipoh (р)) я (р) (13.5.8)
с полем ф. Комбинация физической и (обратной по времени) свободной
динамики, как и в формуле (13.3.10), выражается с помощью фурье-образов в
виде
f (р) -+ еи {р°~е (Ро) 11 ,р))/ (р) ^ {р), (13.5.9)
где е определено соотношением (13.4.4). Ключевые оценки для
доказательства утверждения (13.5.9) содержатся в предложении 13.4.3.
При доказательстве теоремы 13.3.2 важную роль играет следующее свойство
функции f:
suppfcz{p: |р2 + m2| г?[ е}, (13.5.10)
где e > 0 настолько мало, что из (13.5.10) вытекает соотношение
suppfno(tf, р)= {р: - Р2 = т2}.
13.5 Теория Хаага - Рюэля 277
Динамику можно продолжить на все функции /', обла-
дающие свойством (13.5.10). Кроме того, теорема 13.3.2 также обобщается
на все такие f и утверждает, что
П П
в предположении, что носители Д- в пространстве скоростей не
пересекаются, причем порядок сходимости равен 0(t~N), N произвольно.
Обобщение этого результата состоит в том, что в каждом полиноме мы можем
выбрать значение t - ti независимо и затем перейти к пределу в
отдельности для каждого tu
Теорема 13.5.4. Пусть набор функций {/,¦} имеет непересекаю-щиеся
носители в пространстве скоростей и каждая из них удовле-
П
творяет условию (13.5.10). Пусть, кроме ro2o,0jn/out- П CPin/out(/r i)^-
i = m+1
Тогда
П
t < * <т <, ф • • ¦ ф 00111 = П 4W (ft) Q-
1 2 ^ m i = j
11 -> + oo
Аналогичное утверждение справедливо для 0In и ti-^>-оо при условии, что в
процессе предельного перехода tm^. ... ^ t2 ^ t\.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по пг, начало которой составляет
тривиальный случай пг - 0. Сначала будем изменять моменты времени tm + \
- = tm+2 = ... = /" от оо к tm, а затем устремим t,n = tm +1 = . ..
обратно к оо. В результате первой процедуры (от оо к tm) возникнет
поправка, ограниченная по норме выражением
Квадрат подынтегрального выражения - это скалярное произведение; оно
может быть выражено с помощью усеченных вакуумных средних. Как и в
доказательстве теоремы 13.3.2, обратим особое внимание на множители вида
<?s<p (/^)-Если этот множитель действует на вектор Q непосредственно, то
результат равен нулю, так как <35<р {fp) ^ = 0. В противном случае должно
быть два полевых множителя, стоящих по одну и ту же сторону в скалярном
произведении, у которых t = s. Два этих множителя имеют непересекающисся
носители в пространстве скоростей, и это приводит к тому, что порядок
сходимости равен 0(s-v). После интегрирования по s это дает порядок О
Поправка при втором изменении времени по тем же причинам ограничена
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed