Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
как ^ -фй е Жт. Поэтому, принимая во внимание знак минус в каждом Gm{-t),
заметим, что любой вектор (до применения djdt) в скалярном произведении
не зависит от времени. Применение производной по времени обращает
произведеиие в нуль.
Теперь перейдем к рассмотрению слагаемых, содержащих хотя бы один
сомножитель %F j, j ^ 3. В этом случае производная d/dt не играет никакой
роли. В сомножителе !Fj некоторые из точек относятся к полям i|)m из
левой части скалярного произведения <• fi, -Q), а некоторые - из правой
части. Поскольку / ^ 3, то по крайней мере две точки относятся к одной
части. Основные функции для этих двух точек имеют непересекающиеся
носители в пространстве скоростей. Поэтому соответствующие конусы
скоростей не пересекаются. Вне конуса скоростей свободное поле Gm(-t)f
быстро убывает; то же самое происходит и внутри конуса, но только за счет
убывания J как функции разности хг1 - xiz_ Отсюда следует, что члены,
содержащие множитель , ПРИ / г** 3 быстро
убывают.
Из этого доказательства видно, что предел вектора (13.3.10) при f-*-±oo
определяется не зависящими от времени произведениями сомножителей 2Г\.
Этот предел, как можно убедиться, порождается свободным полем ф. Из
сказанного следует, что W* - изометрии, g
Обратимся теперь к доказательству теоремы 13.5.1. Его ключом служит
свойство быстрого убывания функций @~т при пространственно-подобном
удалении переменных, что в свою очередь
есть следствие предположения о массовой щели. Мы знаем,
что
?ГТ является обобщенной функцией умеренного роста по относительной
переменной xrei тогда и только тогда, когда преобразование Фурье ^(prei)
по переменной prei имеет степенной рост и принадлежит классу С°°. Напишем
П П
(Prel) ••• S П b(Pf Pi) Orel) П dp0. t'
г-i г=1
где pi = (po, i, pi), и заметим, что достаточно, чтобы для всех fe9>(Rdn)
выполнялось
П
5... J f (р) WT (р) JJ dp0 . е= др (рге1),
г = 1
а значит, достаточно, чтобы для всех f е 97(Rdn)
(f * Гг) (Уге1) = J / (x) WT(yrel -x)dx^9> (R[d-u). (13.5.4)
Так как гладкость обеспечивается этой сверткой, то ключевым свойством
является быстрое убывание по переменной уГР!.
274 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
Теперь удалим из области интегрирования по л: ту часть, где 11*11^ I]
||yrei||/n- Пусть g- функция класса С°°, равная 1 в малой окрестности
нуля, носитель которой содержится в большей, но по-прежнему малой
окрестности начала координат. Тогда
Г( 1 -g)WoT^\jt(x) [^1 - g yje[ ) ] уГ (Уге1 - х) dx g 9> (Уге1),
и нам осталось исследовать свертку f*gfflr.
Рассмотрим у == (0, yrei) как набор п точек в пространстве Rd~l. Простые
геометрические рассуждения показывают, что найдутся две параллельные
гиперплоскости в пространстве Rd~\ отстоящие одна от другой на
расстояние, не меньшее llyreill/л, и разбивающие эти п точек на два
непересекающихся множества, расположенных по разные стороны от
заключенного между этими гиперплоскостями слоя. Далее, при |] л: || ^ 2
|| yre| jjn полученные из у сдвигом п точек у - х в пространстве Rd
подобным же образом разбиваются на два подмножества, таких, что точки
первого (например, у,- - х, ie!) пространственно-подобно отделены от
точек второго (например, у/ - х, j е X').
Пусть л е @,г - перестановка чисел {1, ..., /г}, в которой набор индексов
i е X предшествует набору /еГ и которая не меняет относительного
расположения внутри множеств X и X'. Аналогично, пусть п' е (c)я - подобная
же перестановка, в которой набор X' предшествует X. Если Жц обозначает
действие перестановки я на аргументы функции W, то из аксиомы локальности
и приведенных выше рассуждений следует, что gW,T=gW]l=gWTn'.
Обозначим {%jJ, где X - подмножество индексов 1, 2.........п,
разбиение единицы по переменным угеь где каждая функция %х отлична от
нуля только для тех угеь которые при указанном выше разбиении могут
привести к этому X. Поскольку
%xf * (гг - J<), %xf * {W\ - Wrn) е= 5? (yrcl),
ключом к использованию массовой щели служит следующая
Лемма 13.5.2. Существует такая обобщенная функция fix е g 9>r {Rdn)
умеренного роста, что
Нх*жтл = жтп, hx*WTn, = 0.
Из этой леммы следует, что
f*wT='Zxxf*yfOT =
X
= Zxxf* {WT - Ю + Е xxf * К * (К ~ Ю>
X X
а так как j *hx^.9>{Rdn), то yrei), что и завершает
доказательство теоремы 13.5.1.
13.5 Теория Хаага - Рюэля 275
Введем обозначение: V+ = {р е Rd: - р ¦ р^ tn, р0 > О}. Предложение
13.5.3. В теории Вайтмана с массой пг > О носитель функции Жт{рь ..., рп)
содержится в множестве
П П
s=H=i; Zp/ = 0-
;=s /=i
Доказательство леммы 13.5.2. Пусть Рх = р;.. Тогда носи-
i S А | ?=
тель функции Жтл принадлежит множеству - Рх, Р х, е V(tm), а носитель Жтл, -
множеству Рх, - Рх, е V(tm).
Выберем ограниченную бесконечно дифференцируемую функцию Их, зависящую от
Рх, о, равную 1 при Рх, о < -mi2 и нулю при Рх, о > tn/2. 1
П
Доказательство предложения 13.5.3. Условие ^ pi = 0 следует из
трансляцион-
1=1
ной инвариантности. Обозначим V = {0} (J V(tm); тогда множество V содержит
