Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
гиперплоскостью s= -A) + v-p= ((1. v), р) (где (•, •) - лоренцево
скалярное произведение). Регулярность функции hv(s) может нарушиться лишь
при тех s, при которых эта гиперплоскость касается гиперболоида. Мы
утверждаем, что условие касания в точности совпадает с приведенным выше
релятивистским соотношении между скоростью и импульсом. Следовательно,
для v ф Т и импульсов р е supp g'+, по которым происходит интегрирование,
указанная гиперплоскость составляет положительный угол с гиперболоидом,
отделенный от нуля равномерно по s. Отсюда следует, что функция h п все
ее производные по s принадлежат пространству Li(ds), и, значит, функция
/(/, tv) имеет требуемый порядок убывания. Для ограниченных скоростей v
утверждение доказано. Если же скорость v неограничена (например, |v| >
1), то мы воспользуемся тем, что скорость распространения начальных
данных конечна, а сами эти данные принадлежат пространству Sf.
Для доказательства утверждения об условии касания заметим, что это
условие влечет за собой неравенство v2 < 1. Сделав это предположение,
проверим, что значения p = mv/(\-ч2)1/2, s = -tn( 1-о2)'/2 определяют
точку пересечения (fx(р), р) гиперболоида и гиперплоскости. Произвольная
точка гиперплоскости имеет вид р- (\х(р),р) + р-Ц где (p-L(l, v)) =0.
Тогда вектор p-L, будучи лоренц-ортогональным времени-подобному вектору
(1, v), является пространственно-подобным, т. е. (р-1-,/?-1) ^ 0.
Пользуясь соотношением (13.4.2), мы убеждаемся, что -(р, р) < т2, когда
р-L Ф 0. Отсюда следует, что р1- = 0 определяет единственную точку
пересечения гиперплоскости и гиперболоида. |
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций /(f) е заданных для / <=
??(Pd) формулой
Пусть f = 0 в окрестности ро = 0.
Предложение 13.4.3. Для произвольной нормы \\-\\& на пространстве и
любой производной д[ по t существует такое
число L, что при любом К
и аналогичная оценка имеет место для любой производной функции /.
Доказательство. Будем считать х0 - t, t и х независимыми переменными. Так
как
(13.4.3)
(13.4.4)
\\d!tf{t) (хо, -)!и<Ск(1 +|*о-*|Г*(1 +\t\f.
Кроме того, для произвольного N при t-+oo
sup (1 + | х |)i| f(t, x) |< О (t~N),
{x: xltgr)
/<*>(*) = (2n)~d>2 J*(p)
gtp.Xgit (ро-e (ро) ц (p)) d
где g (p) = f (p) e~ip° то функции f(l)(x) принадлежат
пространству S?{R*)
по переменной x"-t и являются гладким решением уравнения Клейна - Гордона
по (t, х). Теперь нужно воспользоваться предложением 13.4.1. |
272 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
13.5 Теория Хаага- Рюэля
При доказательстве сходимости волновых операторов в теории поля мы
используем тот же метод, что и в случае потенциального рассеяния, но
сталкиваемся при этом с новой трудностью. Условия убывания потенциала,
например F,-,- е L2 (как мы предполагали в § 13.2), заменяются в теории
поля требованием убывания усеченных вакуумных средних. Эти специальные
корреляционные функции в определенном смысле отражают свойства
многочастичных взаимодействий. Трудность состоит в том, что это убывание
не предполагается, а выводится из исходных принципов (из аксиом или же
выбора лагранжиана взаимодействия). Мы начнем этот параграф с того, что
обойдем эту трудность, предположив требуемый характер убывания.
Для любого заданного семейства я-точечных функций (например, функций
Вайтмана Wn(xь ..., хп)) определим усеченные т
функции Wn(xь .х,t) формулами
"°п= ? П yf]p\{xix, ..., (13.5.1)
? (-1),Л|+1(М- 1)! П Щ (xi{.................*, ). (13.5.2)
я е dP Ре я 1 14 11
Здесь обозначает совокупность всех разбиений множества {1, ..., п}, л
={РЬ ..., Р,Л| 5я -разбиение, a p = {iu ...
• ••, Мр|}-элемент я. Комбинаторные рассуждения, известные под
названием теоремы Мёбиуса, показывают, что формулы
(13.5.1) и (13.5.2) дают эквивалентные определения усеченных функций WT
в терминах функций W.
Пусть, как и выше, # означает, что гр, возможно, заменено своей
производной по времени, и положим
АГ" (х,, .. ., х") = <Q, Чя. (О, х,) ... Н,пп (0, х") Q). (13.5.3)
Теорема 13.5.1. В предположениях теоремы 13.3.2 &~п как функция разности
переменных xi-X/ является обобщенной функцией умеренного роста.
Доказательство теоремы 13.3.2. Обозначим 0(0 левую часть равенства
(13.3.10), усредненную с основными функциями f, f. Предположим, что
разные функции имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей.
Тогда
tl
|[0(М-0(^)||< J \\dQ(t)/dt\\dt, и
и норму \\ dQ(t)/dt \\2 можно выразить через скалярное произведение
(13.5.3), которое в свою очередь разлагается в сумму произведений
усеченных средних
т
Каждый член, содержащий сомножитель равен нулю, так как
'I'mQ е^я X О и, значит, <Q, i|)mQ) = 0. Каждый член, содержащий только
13.5 Теория Хаага - Рюзля 273
т
сомножители вида тоже равен нулю. В самом деле, такой член содержит
множитель с производной по времени, а именно
Однако для векторов я|зтй и свободная и физическая динамика (определенные
соответственно однопараметрическими группами Gm(t) и е~ин) совпадают, так
