Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
состояния й е Ж приводится к 1.
На уровне формальной теории возмущений перенормировки вакуума выражаются
в том, что, как объяснено в § 8.4, только связные диаграммы дают вклад в
функции Швингера. Поэтому перенормировка функций Швингера и S-матрицы,
основанная на теории возмущений, не использует явно перенормировку
вакуума. Из определения
6? = Т~х InZ + о(1) при Т -> оо
можно вывести разложение по теории возмущений для величины бЕ. В случае Р
= Аф4 первые члены разложения бЕ по степеням* изображены на рис. 14.1.
Рис. 14.1. Разложение 6Е до третьего порядка в случае полинома
взаимодействия Р(ф) = Аф4.
Постоянную с2 (которую будем называть перенормировочной константой
вакуумной волновой функции) тоже можно с помощью теории возмущений
представить в виде суммы по связным диаграммам. Это те же диаграммы, что
и для разложения величины бЕ, но с другими числовыми коэффициентами.
Например, разложение бЕ имеет только одну вершину с t = 0, что позволяет
выполнить деление на Т. В силу викова упорядочения вклады первого порядка
по X как в бЕ, так и в с2 отсутствуют.
Следующими по сложности являются перенормировки массы и величины поля.
Эти перенормировки определяются с помощью двухточечных функций, которые
мы исследуем с использованием уравнения Дайсона и его ядра -
соответствующим образом определенного оператора собственной энергии Б.
Переходя к пере-
284 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
нормировке массы, мы предположим, что масса частиц m задана с самого
начала, например измерена, мы же хотим найти такие полиномы
взаимодействия Р, что соответствующие им поля имеют частицы массы т.
Оказывается, такое ограничение (фиксирована масса частиц) выделяет в
пространстве всех полиномов подмногообразие коразмерности 1. (Конечно,
можно потребовать, чтобы существовало п > 1 частиц с фиксированной массой
т при условии, что кратность собственного значения т оператора массы
больше единицы. В этом случае полиномы РПерен составляют подмногообразие
коразмерности п.) Ради простоты изучим случай п=\. Перенормировкой массы
является любое отображение
Р-^Рперен^Р + бР
пространства всех полиномов в подмногообразие полиномов, порождающих поле
с частицами массы т, удовлетворяющее условию
Рперен = Р, если поле, соответствующее Р, имеет частицы массы т.
Такое определение неоднозначно и является слишком общим. В области малых
констант связи однозначное определение получается с помощью требования
6Р (ф) = -j 6т2ф2>
где бт2 является функцией от т и коэффициентов полинома Р, нахождение
которой и составляет проблему перенормировки.
Пусть S(2)r обозначает усеченную двухточечную функцию
Швингера в (евклидовом) импульсном пространстве, а 5<,2,г ана" логичную
функцию свободного поля с той же массой т. Тогда
S$T - (р2 + т2ух (14.3.1)
и, согласно спектральной формуле Лемана,
оо
¦^ = 7^+ 5-^г- (14.3.2)
М
Здесь мы предполагаем, что одночастичный гиперболоид изолирован, так что
М > т. Более того, Z (константа перенормировки величины поля)
определяется из формулы (14.3.2). (Константа Z не имеет никакого
отношения к статистической сумме Z, связанной с перенормировкой вакуума.)
Следующее уравнение называется уравнением Дайсона:
14.3 Перенормировки 285
и служит определением оператора 2. Это есть в точности резольвентное
уравнение, и его можно переписать в виде
- Г<2" = = (S^>)_1 + s ¦ (14.3.3b)
При этом в импульсном пространстве взятие обратного и умножение являются
поточечными операциями.
Продолжив аналитически по р2 функции 5(02)Г и S{2)T вплоть до полюса в
точке р2 = -т2, мы увидим, что из (14.3.3) вытекает условие
2|р2=_т, = 0. (14.3.4)
Именно это условие выделяет подмногообразие полиномов, приводящих к
частицам массы т.
О ' "
Рис. 14.2. Разложение 2 для Р(ф) = Хф* вплоть до третьего порядка.
На языке диаграмм функция Ё представляется в виде суммы диаграмм с двумя
внешними отростками, причем каждая диаграмма относительно этих отростков
одночастично-неприводима. Последнее означает, что такая диаграмма связна,
а стирание одного ребра не может разбить ее на две компоненты, каждая из
которых содержит один из двух внешних отростков. Примеры таких диаграмм
см. на рис. 14.2.
Мы разложим S|pi=_m2 в формальный степенной ряд по пара-
П
метрам а/ - коэффициентам полинома Р(ф)=?а/ф/. Тогда а2 = ~2 Ьт2 и
2 U_m* = б/п2 + О (а2, а2,..., а2п). (14.3.5)
Эта формула вместе с соотношением (14.3.4) задает функцию бт2 как
формальный ряд по коэффициентам а\, ..., ап, который и является
определением перенормировки массы с помощью теории возмущений.
Сравнивая выражения (14.3.2) и (14.3.3), мы получим также,
что
г-'-\=дЦдр%_т.
(14.3.6)
286 Г л. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
поэтому функция 2 заодно определяет перенормировочную константу Z для
перенормировки величины поля. Условимся писать
фперен - 2~1/2ф, (14.3.7)
так что двухточечная функция Швингера, выраженная через перенормированное
поле фперен, имеет полюс в точке р2 = -ш2 с вычетом 1. С помощью
