Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
этих пространств Ao = L^m является подпространством в Li, состоящим из
функций, инвариантных при замене JCrei-"-JCrei. Пространство Лб,,о- это
соболевское пространство
. ¦- { (- ^ ", + f S -V (- ^е, + <5m>!)V f = Л } ¦
Наконец,
Простейшие свойства этих пространств изложены в работе [Glimm, Jaffe,
1979с]. (Приведенный там анализ функций, зависящих только от Хгеь легко
распространяется и на функции от *0, rel> Xrel-)
14.4 Ядро Бете - Солпитера 291
При 62 > 0 пространство А& есть пространство фурье-образов функций,
аналитических в полосе | Im р0 ге11 < 6°, |Imprei|<62, а граничные
значения на краях полосы после умножения на величину
Оо2 rei + (5/п)2)6'/2 + (р2е1 + (5т)2)4*/2
принадлежат пространству L2. Если 7^6, то вложение 1(8, у): А&-*-Ау
ограничено, а если у < б (это означает, что для всех четырех компонент у?
< б" и т. д.), то вложение 1(6, у) компактно.
Рассмотрим оператор К как отображение пространств А&-+Ау. В силу аксиомы
аналитичности BS 3, действие К увеличивает значение 62, а так как ядро К
всего лишь ограничено (а не лежит, например, в L2), то К уменьшает
величину бь В частности, если
выбрать значения у, б так, как это указано ниже, то К будет
ком-
пактным оператором и даже оператором Гильберта - Шмидта:
Ь\, > 1, V?. Y, < - 1.
б°2, b2>-m, Y2> Y2 <т- (14.4.7)
Оператор R0 как отображение пространств Л6-оказывает противоположное
действие на индексы б. Как показано в § 14.3>
(2) Т (2) Т
можно написать S =ZSо + остаточный член, причем остаточный член,
рассматриваемый как оператор, действующий на функции в импульсном
пространстве, не нарушает их аналитичности и сохраняет степенное
убывание. Аналогично, Ro, рассматриваемый как оператор умножения в
импульсном пространстве, может быть записан в виде
Z Z
-х----5--5------------------------тг + остаточный член, (14.4.8)
Р] + m р2-\- m
где остаточный член может лишь увеличить индексы 61 и 62. Все необходимые
свойства остаточного члена вытекают из предположения BS 3 об
аналитичности и ограниченности. Первое слагаемое в сумме (14.4.8)
перепишем в виде
г, =____________________________16Z!_____________________
[(Ро, rei _ iEf + Prel + 4щ2] [(Ро, rei + iEf + Prel + 4m2]
Оператор Ay, где * понимается как сопряжение относительно скалярного
произведения в L2, оказывается равным А-у: Ау = А~у.. Поэтому мы
рассматриваем R0о как ограниченную билинейную форму на тензорном
произведении Л_уХ^а- Поскольку пространство Ай определяется с помощью
симметричного пространства
292 Гл. 15. Магнитный момент электрона
Ls2ym, верно равенство g(p) = -g(p)eAe, причем, скалярное произведение
<?> Rj > = 5 I (Рге1) #00 Orel) f Orel) rfPrel
имеет аналитическое продолжение в полосу (по переменной Е). Итак, мы
считаем, что g е /3_Y, / е /Зб и 6", f>2> m - е, >>2> V2 < с' -m + е.
Интеграл по dpo, rei может быть вычислен как интеграл по верхней границе
полосы плюс вычет в полюсе, лежащем в верхней части полосы. Первое из
этих двух слагаемых ограничено и аналитично по Е (вне разреза) при
условии, что
б", 6j>-2, y?. Y,<2.
Второй член аналитичен при всех 6°, и ограничен при
6, -3/2, vi < 3/2.
При этом для таких значений 8, у второе слагаемое допускает аналитическое
продолжение по переменной ? = (4т2 - Е2)1^2 через разрез.
Объединяя все полученные оценки, находим, что ряд Неймана
R= S (-RoKfRo
n=a
сходится и при
- 3/2 < 6°, < - 1, 0 < 6°2, Ь2 < m - е
определяет ограниченный оператор из Л6 в А&. Кроме того, при
малых X этот оператор допускает мероморфное продолжение по
переменной ? как ограниченный оператор из Л6 в А6.
Дальнейший анализ спектра и рассеяния следует той же общей схеме, что и в
случае потенциального рассеяния (см. [Spencer, Zirilli, 1976], [Dimock,
Eckmann, 1976, 1977]). Регуляризации неприводимых ядер Бете - Солпитера
высших порядков изучаются в работе [Combescure, Dunlop, 1979].
Глава 15
Магнитный момент электрона
15.1 Классический магнитный момент
Рассмотрим классический магнит т, помещенный во внешнее однородное
магнитное поле В. Такое поле не создает силы, действующей на m (т. е.
центр масс остается неподвижным), однако маг-
15.1 Классический магнитный момент 293
нит будет стремиться повернуться вдоль направления вектора В. Вращающий
момент, действующий на т, линейно зависит от В (предполагается, что В не
изменяет намагниченности т). Таким образом,
вращающий момент = |иХ В, (15.1.1)
где |и - вектор, направленный вдоль оси т. Вектор jn является
магнитным моментом магнита т. Уравнение (15.1.1) эквивалентно утверждению
о том, что потенциальная энергия магнита т в магнитном поле В равна
-|и-В. Энергия достигает минимума при совпадении направлений векторов ц и
В.
Простой пример, когда возникает магнитный момент, - это классический
контур с током. Пусть / обозначает круговой контур радиуса г, по которому
течет ток J (его размер- Рис. 15.1. Круговой
ность: заряд/время), см. рис. 15.1. Предста- контур с током I.
вим себе ток J в виде плотности заряда р (заряд/см), движущейся по
