Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 112

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 187 >> Следующая

278 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
по норме величиной
(й-д- ¦
Литературные ссылки
[Jost, 1965], [Нерр, 1966а], [Reed, Simon, 1972-9].
Глава 14
Теория рассеяния: стационарные методы
14.1 Хронологически упорядоченные корреляционные функции
S-матрица представляет собой главный объект изучения в теории поля, так
как с ее помощью выражаются наблюдаемые взаимодействия между частицами.
Приведенное в гл. 13 определение S-матрицы не дает удобной основы для
изучения ее дальнейших свойств. Однако сейчас мы покажем, что S-матрица
имеет простое и удобное представление в терминах хронологически
упорядоченных корреляционных функций. Оно позволяет, например, строить
ряды теории возмущений, разбивать на связные компоненты и исследовать
аналитичность в импульсном пространстве.
Для определения хронологически упорядоченных произведений положим
Г 1 при х0 > О,
0 (х) = 0 (*o, х) = *}
(.0 при х0 < 0;
T<f(x{) . . . ф(х") = Yj 0(*я(1) - Хп{2)) ... 0(*Я (п-1) - Хп(п))Х "е6"
XfM-.ffcw), (14.1.1)
где (c)л--группа перестановок п элементов. Наша цель - показать, что
х{хи ..., хп) = <T(f(xi) ... ф(хл)> (14.1.2)
является обобщенной функцией умеренного роста, преобразование Фурье т(р)
которой настолько регулярно, что допускает умножение на б-функцию:
выражение
П 6 (р2 + m2)e (рО) J Д (Р2 + m2) j f pm, -pm+l.......- pn)
(14.1.3)
14.1 Хронологически упорядоченные корреляционные функции 279
(с точностью до постоянного множителя) является матричным элементом S-
матрицы между out-состоянием со значением импульсов р\, рт и in-
состоянием со значением импульсов Рт+\, . . • , Рп-
Первая задача состоит в том, чтобы показать, что т - обобщенная^ функция
умеренного роста или по крайней мере в каком-нибудь смысле определена.
Поскольку 0 ф С°°, умножение функции Вайтмана W ^ 91' на функцию 0,
вообще говоря, не определено. Используя свойство регулярности,
содержащееся в аксиомах гл. 6 (которая сильнее регулярности, выводимой из
аксиом Вайтмана), и, в частности, то обстоятельство, что функции Швингера
допускают непрерывное продолжение до функционала, определенного на всем
пространстве 9(Rdn) (включая совпадающие точки), можно показать, что т ^
9" (Rdn) [Eckmann, Epstein, 1979а]. Однако, как мы сейчас покажем, проще
не заниматься этой проблемой, а оставить ее в стороне. Пусть функция а е
Со° неотрицательна и интеграл от нее равен 1. Положим
Т'аф (¦? l) ••• ф(*п) = Z 0*а(*я(1) --*я<2)) ... 0 * а (х" (п~ 1) - Хп
(п))Х
ХфМ"'ф(^1"))' (14.1.4)
Так как 0*ае 9, то
= <Taq(xi) ... (р(хп)У (14.1.5)
Впоследствии окажется, что в выражение (14.1.3) вместо т можно подставить
та. Вторую проблему - гладкость в ^-пространстве - уже не обойти. Она
эквивалентна определенным свойствам убывания в ^-пространстве и обобщает
результаты § 13.5.
Пусть функции fi^9(Rd), 1 ^ i ^ п, имеют непересекаю-
щиеся носители в пространстве скоростей, а функции определены
соотношением (13.5.9). Кроме того, предположим, что выполнено условие
(13.5.10). Определим
rul = IUoul(f(.)Q, *in= П фfT=dtf!\
i = I i = m 1
Теорема 14.1.1. Пусть носители всех функций fi сосредоточены в малой
окрестности гиперболоида -р2 = т2. Тогда интеграл
S (П *>(*"¦) ••• *(*.ю <|4Л-6)
1 /
как функция переменных 4+ь • • •, tm принадлежит пространству
Доказательство. Производная dtf(t) имеет тот же вид, что и /<(),
следовательно, надо доказать лишь быстрое убывание. Идея состоит в том,
что блок полевых множителей с наибольшими по величине и почти равными
значениями времени
280 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
может быть вынесен из-под знака операции хронологического упорядочения.
Этот блок множителей при / оо сходится к произведению out-полей,
действующему на вектор Xой1, как это следует из теорем 13.3.2 и 13.5.4,
причем порядок сходимости равен 0(t~N). Так как действие производной dt
на out-поле дает нуль, то быстрое убывание обеспечивается скоростью
сходимости. Аналогично, блок полей с наименьшими по величине и почти
равными значениями времени также может быть вынесен за знак операции Та,
и его применение к Л',п приводит к тому же результату.
В силу симметрии, можно изучать функцию (14.1.6) в секторе
и t = (14.1.7)
Для некоторого I, k + \ sgi I ^ т, в качестве аппроксимации функции
(14.1.6) рассмотрим функцию
Й ftl) d*iVX°Ut' ф(^+1) ••• Ч" (xl) re(*P(*/+l) ••• f(*m)Fin)-\i-k+1 /
(14.1.8)
В соответствии с теоремой 13.5.4 в секторе (14.1.7) имеет место
асимптотика :=ft+l II
так как cpin/out(/() = 0. Аналогично, для некоторого L, в силу
предложения 13.4.3, верна оценка
< о (tL),
поскольку регуляризованные хронологически упорядоченные произведения
можно переписать с помощью обычных произведений с гладкими
коэффициентами. Таким образом, выражение (14.1.8) ограничено величиной
порядка 0(t~N), где N произвольно.
Для того чтобы показать, что функции (14.1.6) и (14.1.8) отличаются на
величину порядка 0(t~N), выберем I, зависящее от набора {tk+i, ..., ^m},
так, что моменты времени tk+i, ¦ ¦ •, U из начального блока почти
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed