Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
верна теорема 18.3.1. Поскольку полином Р, определяющий взаимодействие в
(18.1.2), четный, теория обладает симметрией ф (*)->--<р(х). Для
гауссовых интегралов, определенных с помощью факторизующейся меры е~м
dtfc^ (г" (ср. предложение 18.2.3), верно даже большее: преобразование
ф(дс) -> a(jc)cp(jc) (18.3.4)
также является симметрией, если а(х) = ±1 и а(х) = const на каждом Xi.
Ввиду симметрии ф->-ф имеем 5Л (л^, ..., хп) = 0 для нечетных п.
Аналогично,
,-ШЛПХ,йфс(5(П) = 01
\ Пф(*г)'
кроме тех случаев, когда каждая связная компонента ..., X, содержит
четное число точек xt. Поскольку дг0 = 0, верно также равенство Т (х, Л,
X, Г) = = 0, если хотя бы одно из множеств X,- содержит нечетное число
точек хи Ввиду условия (i) § 18.2 каждое множество Xдолжно содержать по
крайней мере одну, а значит, по крайней мере две точки xi. Следовательно,
при п = 2 есть лишь одно множество X/. Другими словами, X \ Гс связно.
Пусть d определено как в теореме 18.1.1 и w = w i (r) о>2. Поскольку X
связно и supp wt П П X ф 0, то d |<Y| + 1. Значит, согласно (18.3.3),
^ М*,. *2)°"1 (*i) w2(x2)dx
Эта оценка завершает доказательство теоремы 18.1.1 при п = 2, поскольку
одноточечная функция (jci) обращается в нуль для четных Р. |
Доказательство теоремы 18.1.1 (общий случай) в предположении, что верна
теорема 18.3.1. Как и прежде, идея состоит в том, чтобы свести кластерное
разложение к сумме членов, содержащих лишь одну связную компоненту Xi =
X. Слагаемые, отвечающие двум и более связным компонентам, должны
обратиться в нуль в силу некоторой симметрии. Поскольку в общем случае
(когда Р не обязательно четный) такая симметрия отсутствует, мы, следуя
работе [Ginibre, 1971], вводим новую теорию, обладающую искусственно
созданной симметрией.
Пусть йфс. есть копия меры aftpcfC* ^ С), определенная на пространстве
9"*, изоморфном 9". Новая теория определяется свободной мерой йфс X ^Фс"'
ковариацией С(r)/ + /(r)С* = С, нормированной физической мерой
Z~xe~v <Л'е-1/(Л)'^фс X d<f>Qt = djx
и полем ф=ф(r)/ + /(r)ф*. Эта теория инвариантна (четна) относительно
симметрии ф ¦*-* Ф*, которая меняет местами сомножители.
Применим кластерное разложение к выражению Z ^ (Л - А*) (В - В*) dp.
Ковариационные операторы, появляющиеся в этом разложении, имеют вид
C(s) = C(s) I + I (r) C(s)*} поэтому симметрия ф ф* сохраняет гауссову
18.4 Сходимость: основные идеи 353
меру на каждом из сомножителей. (Однако само разложение изменяется: в
качестве выступает (Z2)* \ Г, где Г - набор ребер решетки, объединяющий
ребра двух связных множеств, одно из которых содержит supp А = supp (Л -
-'Л*), а другое supp В. Таким образом, для каждой компоненты Xi либо Xt
гэ гэ supp Л, либо Xt П supp Л = 0, и то же самое верно для supp В.
Вследствие этого ограничения имеется не более двух компонент. Поскольку п
в (18.3.3) ограничивает сверху число компонент, то, как легко проверить,
п = 2 в
(18.3.5).) Рассмотрим теперь слагаемое в (18.2.15), содержащее компоненты
Xt, Х2, .. ., удовлетворяющие условиям
supp Л с: Xi, supp В с: Xj, /. (18.3.5)
В таком слагаемом симметрия ф<->ф* может быть применена отдельно к каждой
компоненте Xi. Однако Л-А* нечетно по отношению к симметрии на Xi,
поэтому члены, удовлетворяющие (18.3.5), должны обратиться в нуль.
Ненулевые члены, для которых условие (18.3.5) нарушается, содержат
компоненту X, = X, причем d ^ 0(1X1), так что при d ^ 4
(Л - Л*) (В - B*)d ji
МА, в e~md.
Раскрывая скобки в левой части, мы получим сумму четырех интегралов,
каждый из которых допускает факторизацию. В итоге левая часть неравенства
принимает вид
АВ dnA с - ^ A dy,л_ с ^ Bdn
'Л, с
откуда следует теорема 18.1.1. |
18.4 Сходимость: основные идеи
В этой главе используются две основные идеи. Первую из них выражает
формула (18.2.15), дающая кластерное разложение функций Швингера. Вторая
состоит в применении оценок, устанавливающих равномерную по Л->-оо
сходимость такого разложения. В настоящем параграфе мы сформулируем эти
оценки в виде трех предложений и с их помощью докажем теорему 18.3.1.
Затем мы докажем самые простые из этих оценок, а доказательство более
сложных отложим до следующих параграфов. Самая трудная из оценок
содержится в предложении 18.4.3. В известном смысле это центральное место
всей главы, поэтому мы обсудим в конце параграфа идеи, которые
привлекаются для его доказательства.
Сходимость разложения устанавливается при помощи оценок следующих типов:
(a) Комбинаторные оценки для подсчета числа слагаемых в разложении, в
особенности для подсчета или оценки числа слагаемых некоторого
специального вида.
(b) Одночастичные оценки ядер ковариационных операторов и их
производных <3rC(s).
(c) Оценки функциональных интегралов. Обычно такие оценки, включают в
себя оценки первых двух типов.
354 Гл. 18. Кластерные разложения
Разложение (18.3.3) или (18.2.15) представляет собой сумму, каждый член
которой есть произведение двух сомножителей - отношения статистических
