Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
всевозможным выборам Гг:
s (Г,) S (Гг)
F(A, s)= ? J dT>F{AnXlt oiF^doJ] \ dr*F (Af)X2, o{T2))do.
Xu Г| 0 Гг 0
Во второй сумме Г2 пробегает все конечные множества ребер в 3§\Xi.
Поэтому сумма по Г2 может быть вычислена с помощью
(18.2.8) как функция вида F(A f) Х2, s (9t\X\)). Полагая X - Х\ и
обозначая Fi просто Г, приходим к разложению
F(A, s)='ZK(Xо, X)F(A\X, s{&\X)), х
s<r> (18.2.13)
К(Х0,Х) = ^ \ dVF(A {)Х, а (Г)) da. г о
В этих суммах X пробегает все конечные объединения замкнутых квадратов
решетки, содержащие Х0, а в качестве Г может быть выбрано любое
подмножество такое, что
350 Гл. 18. Кластерные разложения
(i) в каждой компоненте Х\ГС встречается точка из Х0\
(и) Г cz Int X.
Если для заданного X таких Г не существует, то К(Х0, X) = 0.
Теорема 18.2.5. Пусть множество Х0 ограничено, а функция F является
гладкой, регулярной на бесконечности и свободной при s - 0. Тогда имеет
место кластерное разложение (18.2.13).
Пример 1. Пусть 3S = (Z2)*- множество всех ребер решетки и Х0 = {х\, ...
..., хп}. Положим F = ZS (см. (18.2.4)). Тогда при s = 1
F (Л \ X, s (J \ X)) = J e~w (AV0 dys Ш\Х) =
= Z(А\Х, s($&\X)) Zgx(A\X), (18.2.14)
поскольку изменение граничных условий внутри X не изменяет интеграла.
Разделив на Z, мы получим, в силу (18.2.13),
5Л W = Е Sar S П ф (*<) e~W {АПХ) dcPs<r>ds (Г) 2вХгш Х) '• (18-2Л5)
X, г <
Представив X \ Гс как объединение связных компонент, мы можем
факторизовать интеграл в (18.2.15) так же, как в формуле (18.2.12).
Пример 2. Пусть Г1 cz (Z2)* и Г2 = Ti \ Ь{-конечные множества ребер
решетки, a bj - первый элемент Г! по отношению к некоторому
лексикографическому порядку на (Z2)*. Применим кластерное разложение (по
всем наборам
ребер Ь ф bi) для изучения разности Zr< - ZГ;, где Zr - ^ e~^v .
Для
этого в качестве 3В выберем множество (Z2)* \bt; Х0 = bt. Теперь Z
является функцией пары Определим функцию
2(Л, 5(Г0, 0)-Z(A, 5(Г0, 1), 6; с: Л,
F (Л, s)
-С
7 (Л, в(Г§), 0), Ь1 ПЛ = 0.
Функция F обладает тем свойством, что
F (Л, s = 1) = ZTi - ZTi при bx cz А.
Кроме того, F является гладкой, регулярной на бесконечности и свободной
при s = 0 (последнее свойство выполнено в силу того, что J?). Заметим,
что F не зависит от переменных sb, отвечающих ребрам 6 е Г2, поэтому dbF
= 0 при b е Г2. Следовательно, для любого ненулевого члена разложения
граф Г2 состоит из ребер Дирихле, и в (18.2.13) можно ввести еще одно
ограничение на множества Г, по которым проводится суммирование ^ :
г
(iii) Г П Г2 = 0.
Согласно (18.2.13), имеем
F (Л, s= l) = Zr,(A)-Zri(A) = ZK(bl' Г1- X)F{A\X, s(Z8\X)) =
X
" X К (b[, Tj, X) ZViijXt (A \ X).
X
Здесь X* - множество ребер, входящих в X. Последнее равенство вытекает из
того, нто f(A \ X, s{SB \ X)) не зависит от переменных st, b е Int X.
Умножим
18.3 Кластерное свойство и аналитичность 381
и разделим почленно на 25д (Л^где А - один из квадратов решетки.
Поскольку
ZdA (А) I Л П и -v* (Л\Л0 = ^FiU**
то мы получаем (при новом К)
*г, = ZTl \ Ь, + S * (*1. Г" X) zri[)x. (Л), (18.2.16)
х
где новое К равно
K(blt Г,, A:) = ZdA(A)_|AnJf| ^ ?Vu6'Z(An*, S(ru6t))rfs(ru6i). (18.2.17)
г
Эти уравнения по своей структуре занимают промежуточное положение между
уравнениями Кирквуда - Зальцбурга и уравнениями Майера - Монтролла. Они
будут изучены в § 18.5 с целью получения оценок для Zr /Z, т. е. второго
сомножителя в (18.2.15).
18.3 Кластерное свойство и аналитичность
В этом параграфе мы выведем кластерное свойство и аналитичность- основные
результаты настоящей главы - из предположения о сходимости кластерного
разложения (18.2.15). Пусть Т(х, А,Х, Г) обозначает слагаемое в
(18.2.15), отвечающее X, Г, так что
Е Т(х, А, X, Г). (18.3.1)
X, г
Для любой основной функции w^9'(R2n) ряд
SA(x)w(x)dx = ^ (до, Т) (18.3.2)
х, г
абсолютно сходится. Скорость сходимости определяется площадью |X |
множества X. Докажем, что при К > О
? | (до, 77|<|ш>|е-Л№-"), (18.3.3)
{*, Г: I X |>?>}
где | до | - некоторая (зависящая от п) норма до в 91.
Теорема 18.3.1. Фиксируем произвольное К> 0. Пусть т0 велико, е мало (эти
величины выбираются в зависимости от К), а % принадлежит замыканию
множества (18.1.6). Существует такая норма |до| в пространстве SP, что
неравенство (18.3.3) выполнено равномерно по h, mo и D ^ 1, причем норма
|до| инвариантна относительно сдвигов любого из аргументов функции до.
Как видно из доказательства этой теоремы, она верна и в случае, когда в
(18.2.15) в качестве подынтегральной функции рассматривается выражение А
вида (18.1.8). Таким образом, тео-
352 Гл. 18 Кластерные разложения
рема 18.1.2 и следствие 18.1.3 вытекают из (18.3.3) при /С = 1, 0=1.
Теорема 18.1.1 также следует из сходимости кластерного разложения. Ее
доказательство для случая двухточечной функции при четном взаимодействии
хотя и не использует всех идей, хорошо иллюстрирует основную из них,
поэтому мы рассмотрим этот случай первым.
Доказательство теоремы 18.1.1 для п = 2 и четного Р в предположении, что
