Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(см. § 13.2). Обозначим Но оператор энергии свободного поля на и
определим
W [t)==eitHUe-itH\ (13.3.1)
Ниже мы займемся изучением отображения U и условий, при которых
существует предел
U7±= lim W(t). (13.3.2)
оо
При этом окажется, что оператор W± переплетает Я0 и Н (т. е. #Ц7± =
W±Hо), а отображение
S = W+(W~)* (13.3.3)
является унитарным преобразованием пространства <5#m/out = = Im W+ = Im
W~.
Оператор U называется решением одночастичной задачи. Точнее, мы
укажем такой полином г|зт от (физического) поля ср, что
О ф ipmQ е Жт. Для простоты предположим, что в пространстве
Жт действует неприводимое представление группы Лореица с нулевым спином.
(Более общий случай см. в работе [Нерр, 1965а].) Пусть
^т(х) = е1^те~1^. (13.3.4)
Обозначим фт. свободное поле в пространстве и а *фш. -
поле фт. или производная по времени от фт.. Отображение U
задается действием на векторы, полученные применением полиномов от #фш. к
вектору Q. В частности,
U*фя11 (0, х,) ... #Фтп (0, х") ?2 = (0, х,) . .. *$тп (О, х")
Q.
(13.3.5)
Здесь Q, в левой части обозначает фоков вакуум, а справа Q- физический
вакуумный вектор в пространстве Ж.
Решение одночастичной задачи получается в несколько шагов. Гиперболоиды М
= ц,- для частицы или связанного состояния
13.3 Волновой оператор для квантовых полей 267
чаще всего бывают изолированными. В случае некоторой симметрии (например,
ср-*-ср для четных теорий) или наличия правила суперотбора гиперболоиды М
= ц,- могут быть изолированными только относительно спектров в
пространстве той же симметрии или значений суперотбора. Физической
основой этой идеи служит тот факт, что иначе частицы были бы
энергетически неустойчивы относительно распада на составные части. Такие
неустойчивые объекты действительно встречаются в физике. Это резонансы, а
соответствующие спектры лежат вне физической области и не могут быть
собственными значениями оператора М. В самом худшем случае в теории
появляются безмассовые частицы или, более общо, спектр, целиком
заполняющий передний конус. В этом случае теория рассеяния становится
намного сложнее и фактически понята не до конца. Во избежание технических
трудностей мы с самого начала исключаем такую возможность. (Однако
необходимо понять рассеяние в присутствии фотонов и нейтрино, которые
считаются безмассовыми частицами.)
Можно доказать, что в сверхперенормируемых теориях вдали от критических
точек (при малых константах связи, т. е. в области, аппроксимируемой
гауссовой моделью) собственные значения пц частиц и связанных состояний
изолированы (в указанном выше смысле).
Поскольку векторы Р(ф)?2, где Р - произвольный полином от поля ф, плотны
в пространстве Ж, можно выбрать свободный полином 1]^B, такой, что вектор
1]^BQ не ортогонален подпространству <Жт. Рассмотрим свертку if(tm) с
функцией hm, преобразование Фурье которой имеет вид hm - hm - f (р2).
Предположим далее, что supp Rm пересекается со спектром о(М) оператора
массы М = (Н2 - Р2)1/2 по точке т:
supp Нт П а(М) = {М = т}. (13.3.6)
Тем самым мы определим полином
(13.3.7)
Ради простоты будем считать, что i|)m = ip^ (нейтральные частицы).
Существование функции hm со свойством (13.3.6) следует из предположения,
что т - изолированная точка спектра оператора М. Построенные полиномы
ijjm дают решение одночастичной проблемы. Функция hm содержит
произвольный множитель, который надо выбрать так, чтобы асимптотические
поля cpm/out (определенные ниже) совпадали с канонически
перенормированным свободным полем, а не просто были ему пропорциональны.
Предложение 13.3.1. Предположим, что i)есть обобщенная функция умеренного
роста по переменным t, х. Пусть, кроме
268 Гл. IS. Теория рассеяния: нестационарные методы
того, г|э"(^,х) - неограниченный оператор в пространстве Ж, определенный
на лоренц-инвариантном и г|>"-инвариантном подмножестве. Тогда на этом же
подмножестве определен оператор ¦фm(t,x), также являющийся обобщенной
функцией умеренного роста по х и принадлежащий классу Сх по t. В
частности, средние при совпадающих моментах времени существуют, не
зависят от t и
Доказательство. Пусть f е & (Rd~l)-основная функция для тогда
f (р) hm (р) е1рс( е SP (Rd) является основной функцией для Вакуумное
среднее от произведения функций ф," при совпадающих моментах времени
существует, и то же самое верно для производных \))," по времени, В
Замечание. В типичном случае полагают 'Ф" = ф, где ф - поле Вайтмана. Для
простоты мы предположим ниже, что это условие выполнено. Тогда
утверждения предложения 13.3.1 содержатся в аксиомах Вайтмана, а условия
нормировки функции h превращаются в условия нормировки поля ф. Это есть
обычная перенормировка величины поля, при которой вместо ф
рассматривается
фперен == 2-1/2ф.
Полезно представить е~ИНа в виде интегрального оператора. В следующем
параграфе этот оператор будет изучен более подробно. Пусть Но. т{ -
оператор энергии в пространстве ЗГ тогда
#o=Z#o. m - Обозначим фт производную фт. Для упрощения i ' обозначений
