Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пространство Ж\а состояло только из таких четночастичных состояний
(называемых солитонными парными состояниями), то можно было бы заключить,
что для адекватного описания физической картины основное пространство Ж
нуждается в расширении. С точки зрения теории Хаага - Рюэля (или с
физической точки зрения) такие примеры патологичны. С другой стороны,
доказательство соотношения <3^in/out = = Ж даже для конкретных примеров
квантовых полей, построенных в части II, является серьезной (и открытой)
математической проблемой. Частичные результаты (относящиеся к малым
энергиям и слабым связям) описаны в гл. 14.
5-матрица может быть выражена в терминах хронологически упорядоченных
функций Вайтмана (формализм Лемана - Си-манзика - Циммермана). Таким
образом, в некотором смысле 5-матрица может быть эффективно вычислена.
При изучении спектра частиц и связанных состояний (т. е. пространств Жт),
а также асимптотической полноты используется уравнение Бете - Солпитера.
Оно является в теории поля аналогом стационарных методов в теории
потенциального рассеяния. Согласно этой аналогии, ядро Бете--Солпитера К
соответствует потенциалу V в теории рассеяния. Аналогия становится точной
в нерелятивист-
/3.2 Многочастичное рассеяние 261
ском пределе с->-оо, когда после соответствующего изменения масштаба К
сходится к V.
В теории поля ядро К считается вторичным объектом, так как оно не
фигурирует ни в выражении оператора энергии, ни в уравнениях движения.
Придерживаясь этой традиции, для (голого) взаимодействия, скажем :
ср4можно вывести требуемые свойства ядра К (во всяком случае для малых
значений константы связи). В этом выводе используются высокотемпературные
кластерные разложения (гл. 18).
13.2 Многочастичное рассеяние
Рассмотрим действующий в пространстве L2(R3n) оператор полной энергии
П
/-1 ' 1Ф!
Введем кластерное разбиение SD - {Ci.........Cm}. По определению
это - разбиение множества {1, п} на непересекающиеся под-
множества. Определим полный импульс кластера, его массу, энергию, центр
масс и т. д. формулами
Pk= Z Pi, Mk= Z mjt
l^Ck 1 e Ck
- X! ImT p2i X! ^4 (.qi ~~ qi) ~H0, ft + ^ft>
I e Ck i Ф i&Ck
Z mflt
Qt--M. •
*=l k
Для того чтобы задать асимптотику, т. е. in/out-состояние рассеяния,
необходимо знать:
1) кластерное разбиение
2) свободное движение центра масс каждого кластера;
3) движение частиц в каждом кластере.
Чтобы отделить внутреннее движение частиц в кластере от движения центра
масс всего кластера, сделаем в каждом кластере замену координат.
Переменная Q* - это координата центра масс кластера С&; пусть q^, rei
обозначает набор из \Ck\--1 независимых координат, выбранных каким-либо
способом из набора величин {qi - qr, i, /е= Ск}.
Линейное преобразование A: {qi} {Qk, Як, rei} индуцирует линейное
преобразование А*-1 набора импульсов рь в координаты, сопряженные к
{Qk,qk, rei}. Можно избежать утомительного счета, если заметить, что
линейное преобразование Л*-1 определяется
262 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так, что преобразование координат р и q является каноническим, т. е.
сохраняет коммутатор или скобки Пуассона. Так как
координата Рк сопряжена координате центра масс Qk. Пусть Pk, rei
обозначает набор импульсных переменных, сопряженных набору qk, rei- Тогда
Н0 - билинейная форма от переменных Рк и pk, rei, причем член, содержащий
Рк, можно найти, вычисляя скобки Пуассона в обеих координатных системах
{Q*, qk, rei} и {qi}. Так как
где h0, k - некоторая квадратичная форма. Последовательно обрабатывая
таким образом каждый кластер нашего разложения и выделяя при этом на
каждом шаге движение центра масс, мы придем к координатам, известным как
координаты Якоби. Итак, мы показали, что в координатах Qk, qk, rei
= Ло, k-\-Vk - во втором. Определим связанное состояние кластера Си как
собственный вектор оператора Л* с дискретным собственным значением:
Вектор определяет внутреннее движение частиц кластера. Если кратность
собственного значения Ek больше 1, то выберем в качестве вектора ф* любой
элемент ортогонального базиса собственного подпространства,
соответствующего Ек. Разбиение й> на кластеры Ск вместе с набором
связанных состояний фА, выбранных для каждого кластера Ск) имеющего не
менее двух эле-
{qt - qh Рк} = О,
то
^k 2М. * iPк, rel) "I" Vk iPk, rel)
k
и при разложении в тензорное произведение
жк = L2 (r 1 С* I, dq) = L2 (r\ dQk) (r) L2 (r* {1 C& ,_I), dqreI)
оператор (2Mk) 1 P\ действует в первом сомножителе, a hk =
13.2 Многочастичное рассеяние 263
ментов'), называется каналом:
a = {2),<pi, ..., фт}.
Для каждого канала а определим изометрию
Ua: Ж(r)^ L2(R3m)^Lo(Rz")
т
формулой Uaf = f(Qk, •••> Qk )П Ф* (^*. rei)- Здесь f определяет
\ 1 т/ = l
состояния центров масс всех кластеров. Оператор - это до-
а
вольно грубая аппроксимация волнового оператора, который мы сейчас
определим. Пусть
Wa{t) = eitHe-iiHs>, W% = s. lim Waif), - 2 W%Ua.
t->±oо a
Теорема 13.2.1. Если все Vij e L2 + Z-з-е, to W± - изометрическое
