Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Юнга и
Гёльдера. Получим цепочку неравенств
<\\c0hJfi\\L <llc0ll? W/IL- (12-5-16)
/I оо It I 1
Здесь n' = nl(n-1), а С =э С0 = const(p2 + m2)-1 s Lp при p > 1. Так как
п < оо, то п' > 1 и (12.5.16) действительно имеют место. Этим закончено
доказательство леммы.
Возвращаясь к доказательству теоремы, обозначим п(Д) число связей Я(г)-
вершин с fi-вершинами, находящимися в ячейке Д, где r = 1, 2, ..., п.
Занумеруем эти л(А) связей индексами k-\, 2, ..., п(Д) в порядке
возрастания расстояния .Р^-вершин до Д, которое мы обозначим rf*. Так как
каждая ячейка А содержит не более одной Fi-вершины, где i s /, то dk
удовлетворяет неравенству
const ¦ k. (12.5.17)
Согласно неравенству (12.5.12) и предыдущей лемме, каждое слагаемое,
соответствующее 6-й связи, имеет экспоненциальную оценку О (1) е k
Поэтому произведение таких слагаемых можно оценить сверху следующим
образом:
"(А) , , . . " п(А)
П (о (l)<T,m-E)d*)= П О (l)e-con3t-fc / < fc=i ft=i
^ econst.n(b)-const-conste-const-п(Д)3/2 (12.5.I8)
266 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
Далее, число множителей с одним и тем же dk не превосходит
д
Применение леммы 12.5.3 для оценки мономов Р^ дает еще один множитель
я(А) !const. Так как гс(Д)! < ехр(п(Д)-In п(Д)), то оба множителя мажори-
д
руются сходящимся выражением (12.5.18). Пусть /" {/: ср(//) связано с
экспо-
нентой}. Приведенные неравенства позволяют оценить сумму членов вида
(iii) (связь с экспонентой)
? X II ядро ||, Ц п (A)!con3t < JJ сопв' К || . (12.5.19)
связи ячейки А / s 1 е 1
Чтобы получить оценку для G-вершин, оставшихся после учета F-вершин,
воспользуемся леммой 12.5.3. Поскольку каждая из ячеек, входящих в
множество /\/, содержит не менее двух (7-вершин, то
5 fj°i \ / ^ | < ? П (constn fj iitI) ? П (constii ft у]'
(12.5.20)
так как p > 2, || fi |j < 1 и || ft ||^ < || f{ ||? . С помощью
неравенств
РII f,uw + "me,
мы увеличим правую часть неравенства (12.5.20) и придем к оценке
(12.5.9). В
Теорема 12.2.2 доказывается аналогично. При п/2 <С j <С п, т. е. при р >
2, нужно проинтегрировать по частям также и G-вершины.
Часть III
Физические свойства квантовых полей
В части III изучаются физические свойства квантовых полей и систем
статистической механики. Отдельные главы можно читать независимо, однако
материал представлен здесь не в таком полном виде, как в предыдущих
частях, и от читателей требуется определенная подготовка. Вначале
обсуждаются вопросы, связанные с интерпретацией теории поля в терминах
частиц: рассматривается матрица рассеяния, спектр связанных состояний и
вопрос об асимптотической полноте теории. В гл. 16 изложено полное
доказательство существования фазовых переходов для квантовых полей ф4.
Вслед за этим в гл. 17 приведен обзор нынешнего состояния знаний о
критической точке для полей ф4. В гл. 18 дано второе доказательство
существования квантовых полей в размерности d = 2. При этом для изучения
предельного перехода к бесконечному объему используются методы теории
возмущений (кластерные разложения). В той области, где соответствующие
разложения сходятся, мы не только получаем новое (по сравнению с тем,
которое проведено в ч. II методом многократных отражений) доказательство
существования полей, но и устанавливаем экспоненциальное убывание
корреляций и, таким образом, получаем возможность исследовать свойства
массового спектра. В принципе кластерные разложения позволяют полностью
изучить низкоэнергетические состояния изучаемой модели. В гл. 19 мы
устанавливаем соответствие между полями Минковского и евклидовыми полями,
о котором говорилось в гл. 6. Попутно обсуждается связь между полями с
неединственным вакуумом в квантовой теории и разложением равновесных
состояний в статистической механике на чистые фазы. Фактически
результаты, изложенные в гл. 16-19, относятся также к свойствам
равновесных состояний и трансфер-матрицы в статистической физике, и мы
неоднократно подчеркиваем это обстоятельство в тексте. Гл. 20 можно
рассматривать как введение в литературу, посвященную основным вопросам
теории поля, оставшимся за рамками этой книги.
258 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
Глава 13
Теория рассеяния: нестационарные методы
13.1 Введение
Теория рассеяния изучает асимптотическое поведение при ±оо решений
Q(t) = e-iWQ( 0) (13.1.1)
уравнения Шредингера Ш = HQ. Поскольку для собственного или обобщенного
собственного вектора 0 оператора Н с собственным значением со справедливо
равенство 0 (t) = е""0 (0), эта задача по существу сводится к
спектральному анализу оператора Н. В трансляционно-инвариантном случае,
когда операторы Н и Р коммутируют, для них ищут совместное спектральное
разложение. Однако задача о совместном спектре не проста, поэтому, чтобы
ее корректно поставить, вернемся к формуле (13.1.1).
При больших значениях параметра |/| волновая функция 0(/) распадается на
части, отвечающие отдельным изолированным невзаимодействующим частицам и
