Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь р - п/(п-1), a n = degP. Мера ёц удовлетворяет аксиоме OS 1.
Первый шаг на пути избавления от |К| в теореме 12.4.1 делается при помощи
многократных отражений.
Лемма 12.5.2. Пусть р = п/(п - /), где j < п, и пусть geLif) fl Lp -
функция с компактным носителем. Определим gA формулой (12.2.2). Тогда
\ ехр (:ср; (g):) d\x < Д exp jc (l +|| gA IIPL )} = exp jc (j Jf |+||
g\fL .
4s/ P
(12.5.2)
Доказательство. Применим оценку по методу многократных отражений из
следствия 10.5.8, в которой возьмем &<'> = ехр :ф>(gAl):- При оценке
каждого сомножителя S'(k^) воспользуемся теоремой 12.4.1.
Лемма 12.5.3. В предположениях предыдущей леммы возьмем набор функций
hts., i, каждая из которых имеет носитель в ячейке Д. Тогда
17 "д
К
У щ(й:ф/(Ад. *):)exp(:<p,(ffA):)lrf*i
1 Д еЛ" ? = 1 ' J
j
^ J3 [кО1 _ 1/р (Пс II лд. <¦ ILP) ехР {с (¦1 + кд liy}]
Доказательство. Следуем доказательству следствия 12.2.4, но вместо
теоремы 12.2.2 пользуемся теоремой 12.4.1. Н
Доказательство теоремы 12.5.1. Прежде всего разложим функцию f на два
слагаемых: большое и малое. Пусть / = g + А, где
Z W- ?= I Хд (12.5.3)
i^M i е Z'1 \ М 1
Здесь Хд.- характеристическая функция единичной ячейки Д; решетки
{Д;},
покрывающей всю плоскость R2, а М-такое множество индексов, что
ИПк1(Ад+т1р{А1)<1. (12.5.4)
Таким образом, функция g - это "большая", а функция h - "малая" части f.
Кроме того,
I!Л1ь, (Д() +11/П?р (Д/} > 1 для (12.5.5)
В качестве предварительного шага применим неравенство Шварца, чтобы
от-
делить g от h:
lj J <*"> dp J ^ dn)172. (12.5.6)
Пользуясь леммой 12.5.2 и неравенством (12.5.5), получим нужную оценку
для сомножителя, содержащего g. Следовательно, без ограничения общности
можно
254 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
считать, что g = 0, т. е. f = h. Действуя далее аналогично, снова
воспользуемся неравенством Шварца с тем, чтобы представить функцию h в
виде суммы четырех слагаемых. При этом для каждого слагаемого множество М
состоит из ячеек без общих ребер и вершин. Другими словами, либо либо
y^h = Q,
если i Ф /, но dist(Дг, Д/) ^ 1.
Для удобства припишем индекс / носителю функции /. Пусть fj = hj = Хд^/-
Тогда
еФ^'-> = 1 + Fi + Gi, (12.5.7)
1 1
где Fi = ф G. - ф (fj)2 ^ ^ dX dy, и аналогично
о о
_
/ Гс 1
где Fj = П Fr п Gy. Суммирование в разложении (12.5.8) идет по
/е/ /е/
всем конечным подмножествам решетки Z2. Все произведения и суммы здесь
конечны, так как лишь конечное число функций ft отлично от нуля. Мы
утверждаем, что существует с < при котором выполняется неравенство
| J FjG[ ч , dy. | < Д с {|| ft ||L_ + || ft ||I }. (12.5.9)
" e / P
Тогда
? E П })*•
/c2'/c/ie/
< E IK2* {"f< "i,+"i> "U}- П ('+2* {">> k,+n. iq >
/cZ'ie/ F ieZ'
(12.5.10)
где второе неравенство есть следствие тождества ^ 1=2^1 Теперь осталось
/с/
воспользоваться элементарным неравенством еаХ^ 1 + аЛ', для того чтобы
получить оценку
J еф<?) ехр (2с {||/[lLi + ||f||? } ). (12.5.11)
Закончим доказательство теоремы выводом неравенства (12.5.9). Для этого
каждый сомножитель ф(//) в произведении Fj проинтегрируем по частям (см.
(12.2.5)). В результате мы получим слагаемые трех типов, в которых ф
связано с: (i) такими же множителями, (ii) множителями вида
ф(/у)2ехр(Ащр(//)),
входящими в G/у/, и (iii) экспонентой. Оценивать полученные выражения мы
будем при помощи леммы 12.5.3, явных оценок ковариационных операторов и
элементарных комбинаторных неравенств.
Члены типа (i), возникшие в результате связи линейных сомножителей из F,
и члены типа (ii), возникшие в результате связи линейных сомножителей из
F и G, могут относиться только к непримыкающим ячейкам. Такие члены дают
множитель </;, С//), для которого справедлива оценка
I (ft, Cf,) I < О (1) e-" I *- п ,| U ()ii " ft "?). (12.5.12)
Здесь ядро оператора С = С^ ограничено согласно предложению 7.2.1.
12.5 Регулярность поля Р{ф)2 255
Члены третьего типа приводят к сомножителям вида (Р('> (4>))(ffl X ... .
¦. X f j у где г ^ п, a ji, ..., jr - индексы,нумерующие различные
ячейки. Здесь
PW обозначает г-ю производную полинома Р, a f/ = Cf/. В Р(г) входят
мономы степени не больше п - г. Поэтому если мы хотим воспользоваться
леммой 12.5.3, то следует обратить внимание на локальную ?Р(Г)-норму ядра
при р(г) ^ п/г. Поскольку эта норма возрастает с ростом р, без
ограничения общности будем считать, что р(г) - п/г.
Лемма 12.5.4. Если а < т, то существует такая постоянная с <С оо, что при
всех г ^ п
••• hr\hm</>,)<c\t,t\Lt ...!/,Л,.
(12.5.13)
Доказательство. В силу неравенства Гёльдера,
IIv--f4 .д^пц^л, .... о2-5-14)
" 1 г%(г)(дг) s=i11 5"МД<)
Утверждается, что имеет место оценка
^/!1^(дг)<0(1)е_тМ_Л^/^- (12-5л5)
Подставляя ее в соотношение (12.5.14) и суммируя, получим как раз
требуемое неравенство (12.5.13). Утверждение (12.5.15) при |( - /|> 1
вытекает из оценки | J. (х) | < О (1) е~т ^ ^ || fj Ц подобно
неравенству (12.5.12). При (/- /| ^ 1
для доказательства (12.5.15) воспользуемся неравенствами Хаусдорфа -
