Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глимм Дж. -> "Математические методы квантовой физики " -> 106

Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.

Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики — Меркурий , 2000. — 451 c.
Скачать (прямая ссылка): matmetodikvantovoyfiziki2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 187 >> Следующая

отображение из пространства Ж = ? (r) Ж(r) в пространство Ж =
а
= L2(^3n, dq). В частности, сильный предел, определяющий W%> существует и
образы операторов W%\Ja при различных а ортогональны.
Лемма 13.2.2. Ядром оператора е~пл в пространстве L2(Rl) служит функция
(- 4яitydl2e~' х, у е Rd.
Доказательство. Достаточно аналитически продолжить решение уравнения
теплопроводности, задаваемое оператором е*Л.
Лемма 13.2.3. Для оператора e~itp\ рассматриваемого как отображение
пространства L\(Rd) в Lx{Rd), выполнено неравенство e-itp2\\ <Td/2.
Доказательство. Легко видеть, что II е~itp21| = || (- 4jiit)~dl2e~x''^it

Лемма 13.2.4. Как оператор в пространстве L2(Rd), e~itp' слабо сходится к
нулю при /->-±оо.
Доказательство. В силу леммы 13.2.3, для векторов 0±, 02 е Li П L2 имеем
(01, e~iip2Q2)->0. Так как оператор е itp2 унитарен, для доказательства
слабой сходимости достаточно ее проверить на всюду плотном множестве
векторов. В
Лемма 13.2.5. Если а = {iZ>, ф} ф Р = {2)', ф'}, то У7%иаЖз> 1_ _L
W%'U§Жз>'.
Доказательство. Предположим, что сильный предел существует. Пусть
¦фа е 36з), i|е Если Ф = ?)', то
(Уз>иа'Фа' = (^а^а' ^Э^Э) = ^э) ^0 = 0>
*) Для одноэлементных кластеров Cje(r) полагают ф* = 1. - Прим. ред.
264 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так как в этом случае ср и <р' - ортогональные собственные векторы
оператора внутренней энергии, входящего в НЕсли 2> ф &)', то
I (w?ua%, w%u^) | =
= lim |<в""в-""(r)?/аФа, е""е-1Ш*'и^\ = lim \(е-иН*иаЪа,е-"И*'и&Ь)\ =
<-"± оо
= lim
< -"± оо
= lim /-"±"
/ ~ ^ Ь ~ ^ Ъ' \
(е k ^а'Фа. е *' ^вФ[3/
(t'a'fra. в U
Заменой переменных диагонализуем экспоненту, так что
1>2-2>-"-|г+-. **¦>.
(нЕр2-Ер2\ _ltM2/gw2
Тогда ev '=е <S>Ui(t), где?Л(0-унитарный оператор.
В силу леммы 13.2.4, предел приведенного выше выражения равен нулю, и
доказательство закончено.
Лемма 13.2.6. Пусть все Уц е L2 + L<x> ы 0е2)(Я) (где 2)(Н) - область
определения Н). Тогда вектор Wg)(t)§ дифференцируем в сильном смысле и
±. Wa, {t) 0 = ieitHVa>e~ itHH,
где V'(r)*= H - Hs> есть сумма всех межкластерных взаимодействий.
Доказательство. Оператор V является возмущением по Като оператора Я", и
аналогично V^ - это возмущение по Като операторов Я и Я^. Поэтому 2)(Н) =
й5(Я^,) = 2)(На). Далее доказательство проводится стандартными методами
теории операторов.
Лемма 13.2.7. Пусть 1сЖ обозначает множество состояний ф, для которых при
t-*-±оо
||У^"Я^0|<О(1/Г3/2)-
Тогда пересечение Ж плотно в пространстве Ж.
Доказательство теоремы 13.2.1. Так как оператор Wgj (t) унитарный, то
сходимость достаточно доказать для произвольного вектора 0 из плотного
множества Л П Ж. Для такого 0 справедливы неравенства
tn it
II W(r) (*i) " (У] в II < J II V'e-ltH0 \\dt < J 0(|/\~W) at.
*1 <i
13.3 Волновой оператор для квантовых полей 265
Так как последний интеграл стремится к нулю при 11, ^-"-±оо, теорема
дока-
зана.
Доказательство леммы 13.2.7. Для того чтобы упростить доказательство,
рассмотрим случай Vtj е Ь2. Положим
m
в(?) = Д fk(Qk)8k(qk,^).
Взяв ft, gk s 93, мы докажем, что 0ei.
Пусть Vji, где / е Ck, le.Ck,, k ф k', - отдельный член из суммы Vя
Определим
MkQk + Mk,Qk,
Qkk' ~ мк + Mk, ' ^kk'•rel ~'
Как и выше,
Р~ь ~i----!-ч т^- +
1 .2 , 1 "2 1 <52 , 1 д*
2Mk k 2Mk. *' 2 {Mk + Mk) dQ\k, 2m ' dq\k,, rel '
где m = MiMzKMi + M2),
Vjl ~ V jt (Qkk', rel L (flk, rel> Qk', rel))> a L - некоторый линейный
функционал. Тогда
= const ^ | У л f | Ф! (Qkk" qkk,_ re,) j2 J -ф2 (qkt rel, qw< rel) |2
dq,
где константа не зависит от t и
Поэтому, сделав замену переменных и применив неравенство Гёльдера,
получим, что
\Г"е- ""*0 Г < - II У " 11> II I? II , f *, If,
Так как эволюционный оператор Шредингера, входящий в выражение для i|)i,
как оператор из Li в L", имеет норму порядка t~3>z, то
I X (Qkk'1 Qkk', теО | ^Qkk', relj ^Qkk'> где % (Qw, Qkk', rel) = fk (Qk)
fk' (Qk') e i
13.3 Волновой оператор для квантовых полей
В этом параграфе мы определим волновой оператор в случае квантового поля.
Как и в § 13.1, пусть Жт" Жтг, ... - собственные подпространства
массового оператора М, отвечающие собственным значениям mj, т2, .... В
каждом пространстве 2>ёт1 действует представление группы Лоренца. Пусть
ёГл- простран-
266 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
ство Фока свободного поля с одночастичным подпространством Жт.,а пусть ^
= Тогда можно интерпретировать как
пространство, элементами которого помечены асимптотические состояния.
Волновой оператор, который мы собираемся построить, можно рассматривать
как отображение пространства ST меток асимптотических состояний в
пространство Ж. Определяемая при помощи волнового оператора S-матрица
действует в пространстве Ж (в частности, отображает Ж0ut на Жщ). В конце
наших построений мы отождествим пространства и Ж\n/0ut, так что S-матрица
тоже окажется определенной на пространстве меток $F.
Конструкцию волнового оператора мы начнем с грубой аппроксимации U: SFЖ
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed