Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
положим
Аналогично, пусть vm(t,x) обозначает вектор с компонентами г|зт и г|зт, a
Gm(t)-матрицу размера 2X2, дающую решение задачи Коши
(Q, г))",(*, х) ... qmn(t, x)Q) Rn{d~l)). (13.3.8)
Фт (t, X) \
dtfm (U X) )
(13.3.9)
ит (t, х) = Gm (/) ит (О, х) = eltHmm (О, х) е~1Ш\
Поэтому для тензорного произведения имеем
W (t) ищ (0, х,) ... итп (0, х") Q =
= eitHUGmi (- t) ищ (0, х,) ... Gmn (- t) итп (0, х") Q =
- eitHGmi (- t) vmi (0, Xj) ... Gmn (- t) vmn (0, x") Q =
- Gmi (-1) vmi (/, x,) ... Gmn (-1) vmn (t, x J ?2. (13.3.10)
В следующих параграфах будет доказана
13.4 Волновые пакеты для свободных частиц 269
Теорема 13.3.2. Рассмотрим подчиняющуюся аксиомам Вайтмана теорию поля с
изолированным одночастичным спектром и = ф. Усредним выраэюение (13.3.10)
с основными функциями fi{x), fi(x)<= 91 {Rd~l), носители которых в
пространстве скоростей не пересекаются. Тогда усредненное выражение
(13.3.10) сильно сходится со скоростью 0{t~N) при t->oо, где N
произвольно. Предельные операторы W7± являются изометриями.
Замечание. В силу предложений 13.3.1 и 13.4.1, оператор W(t) определен,
как и в формуле (13.3.10), на векторах и ... uQ. Пространство скоростей и
носители f в этом пространстве определяются в § 13.4.
Следствие 13.3.3. Пределы полей на ±оо:
фт, m/out (г', х) = 117±фт(/, х) (1^±)*
представляют собой свободные поля.
Следствие 13.3.4. Справедливо равенство HW± = W±H0, где Н0 - гамильтониан
свободной динамики поля фт> m/out.
Следствие 13.3.5. S-матрица, определенная формулой (13.3.3), является
унитарным оператором на пространстве Ж-,п = Жоих = - Im W±.
Доказательство. Важным следствием аксиом Вайтмана является тождество TCP
= /, где Т - оператор обращения времени, Р - оператор отражения в
пространстве, а С - оператор зарядового сопряжения [Streater, Wightman,
19641, [Jost, 1965]. В силу равенств СЖт = = РЖт, оператор Т тоже
оставляет
пространство Жт инвариантным. Аналогично этому, поскольку операторы С и Р
отображают ыногочастичные in/out-состояния ImW± па себя, то же самое
делает и оператор Т. Однако по определению Т меняет местами lmW+ и \rnW~,
следовательно, эти пространства совпадают. Ограничение S-матрицы на
пространство Ж[П = Жои1 = lmW- определено формулой (13.3.3) как
произведение двух унитарных операторов, и поэтому само является унитарным
оператором. Щ
13.4 Волновые пакеты для свободных частиц
Как и в § 13.2, для свободного поля в пространстве-времени размерности d
= 4 можно доказать, что решения убывают как t~з/2 Однако в случае, когда
множества скоростей не пересекаются, убывание для любой размерности d ^ 2
происходит быстрее, чем t~N, где N произвольно. Этот последний результат
об убывании мы и установим в этом параграфе. Он используется при
доказательстве теоремы 13.3.1 для сверхперенормируемых теорий в
размерности d = 2, 3 при условии, что основные функции имеют
непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Убывание имеет место
вне конусов в х, ^-пространстве, и поэтому означает, что свободные
частицы в основном остаются внутри конусов, определенных их скоростями,
причем скорости вычисляются по их
270 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
носителям в импульсном пространстве. Внутри конуса скоростей мы
воспользуемся следующей простой оценкой.
Предложение 13.4.1. Пусть функция f(t,x) является решением уравнения
Клейна - Гордона с начальными данными из пространства ^(R^1). Тогда
относительно любой нормы \\-\\& в пространстве и любой производной д\
по t, / ^ 0, функция х->
->d[f(t, х) обладает конечной нормой ||d?f(/, -)IU> возрастающей по t не
более чем степенным образом.
Доказательство. Частичное преобразование Фурье Г(t, р) (по переменной х)
имеет вид
f (t, р) = (2лГ{а~ 1);2 [е~ ^ *g+ (р) + (р) (Р)],
где jx = (р2 + m2)1/2, g± е ??. Предложение следует теперь из
того, что &~9' = 9'
(где 9~ - преобразование Фурье). 2
Скорости и импульсы связаны релятивистскими формулами
р = _p2--ip. pesupp^±, (13.4.1)
V=±P/|X(P). (13.4.2)
Пусть Т - некоторое множество в пространстве скоростей. Конус будущего 93
г в пространстве скоростей определяется следующим образом:
= xe/?rf|/>0, x//eF} = {/, tr\t> 0}.
Множество У мы выберем замкнутым и содержащим некоторую окрестность
множества скоростей, определенных импульсами
р <= supp g±.
Предложение 13.4.2. Если функция f и множество Т выбраны, такими, как
сказано выше, то f вне конуса 93 г быстро убывает по переменной t.
Другими словами, для любых L, N при /-> оо
sup (1 + | х |)L| /(/, х) К О (t~N)
{х: x/t<? г}
и такая же оценка справедлива для любой производной функции f по х.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда имеется лишь функция
g+. Тогда
f (t, tv) = (2n)[d~1)/2 J elt (p) dp = J eitshv (s)
ds,
где
hv (s) = (2n)(d'~l)/2 ^ 6 (s + ц (p) - v • p) g+ (p) dp.
13.4 Волновые пакеты для свободных частиц 271
Геометрически нагляднее перейти к пространству энергии-импульса, где
интегрирование происходит по пересечению гиперболоида р0 = |г(р) с
