Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
кластерам (связанным состояниям). Это разделение происходит в х-
пространстве, а его следствием является существование оператора свободной
энергии Но, который описывает движение невзаимодействующих отдельных
частиц и связанных состояний. При /->±оо мы выбираем такой обобщенный
собственный вектор 0 оператора Н, что асимптотика 0(/) определяется
свободной динамикой e^itHa. Такие собственные векторы определяют
спектральное in/out-разложение оператора Н. Унитарный оператор,
переводящий одно из этих разложений в другое, можно рассматривать как
оператор, переводящий асимптотические режимы при -оо в асимптотические
режимы при /->+оо. Он называется S-матрицей.
В релятивистской теории поля in/out-асимптотики описываются свободными
полями (см. гл. 6), обозначаемыми, например, Фт/out- Эти in/out-поля
действуют в пространстве Фока ИГ, а векторами 0in/out е ёГ помечены
асимптотики квантового поля при больших | /1. В случае, когда в теории
содержится несколько типов частиц (элементарные частицы и связанные
состояния), им соответствуют и несколько in/out-полей, которые действуют
в тензорном произведении пространств Фока iFi (r) 5^ (r) ... ~ ЗГ. В силу
лоренц-инвариантности спектр энергии-импульса лежит на гиперболоидах вида
Л1 = (Р2- Р2у/2 (рис. 13.1). Пусть обозначает собственное подпространство
оператора М, отвечающее собственному значению ц. Для многочастичного
подпространства
13.1 Введение 259
Ж^чт на рис. 13.1 изображены порог М = т + ть частица--связанное
состояние и трехчастичный порог М = 3т.
Асимптотическая полнота - это утверждение о том, что все состояния
квантового поля помечаются состояниями в пространстве ёГ асимптотического
свободного поля. Точнее, дискретный спектр оператора М (а также спектр
оператора спина и другие "внутренние" квантовые числа, входящие в теорию)
определяет одночастичные подпространства в сомножителях 9~\, 2F2, ...
пространства Sr, которое в свою очередь описывает многочастнчные
состояния, составленные из этих масс, спинов и внутренних
Полная энергия Р.
/ Порог М-Ът
Порог М- т+ть
2/п = многочастичные состояния Порог. М=2 т
¦3f = пространство связанных
ть
состоянии массы mh
Л = пространство элементарных частиц
Вакуумное состояние
Полный импульс Р
Рис. 13.1.
квантовых чисел. Если асимптотическая полнота имеет место, то в теории
нет никаких других состояний, кроме этих многочастичных состояний.
В § 13.2 мы обсудим случай так называемого многочастичного потенциального
рассеяния. С тем чтобы изложить теорию рассеяния в ее наиболее изученном
виде, мы построим волновые операторы и S-матрицу. Остаток главы мы
посвятим описанию нестационарных методов в квантовой теории поля.
Обобщением методов, с помощью которых строятся волновые операторы и S-
матрица, на случай теории поля получают, в частности, и конструкцию Хаага
- Рюэля.
Исходным пунктом теории Хаага - Рюэля является предположение ') о
существовании изолированного собственного значения т у массового
оператора М. В дополнение к этому предполагается, что поле ф
удовлетворяет аксиомам Вайтмана. В итоге будут построены многочастичиые
состояния. Эти состояния фактически являются асимптотическими входящими и
выходящими многочас-
*) Для частиц нулевой массы это предположение неверно. И хотя в теории
рассеяния для частиц нулевой массы достигнуты большие успехи, адекватного
обобщения нестационарных методов на этот случай не существует.
260 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
тичными состояниями для рассеяния частиц массы т. В случае, когда теория
поля описывает много типов частиц и связанных состояний, конструкцию
Хаага - Рюэля можно использовать для построения многочастичных состояний
с п\ частицами первого типа, п2 частицами второго типа и т. д.
Единственным изначальным требованием по-прежнему остается наличие у
оператора М изолированного собственного значения т,- для каждой частицы
или связанного состояния.
Пространства Жщ/out, построенные с помощью теории Хаага - Рюэля, - это
подпространства Ж. Они имеют естественную структуру пространства Фока и
изоморфны пространству ЗГ, элементами которого помечены состояния
рассеяния. На самом деле можно отождествить пространство ЗГ с
пространством Жт или Жои\.\ как следствие получаем равенство Ж-т - Ж0м\ (
= &~). Таким образом, теория Хаага - Рюэля дает конкретное представление
ДЛЯ ПрОСТраНСТВ 5^m/out-
Затронутый выше вопрос об асимптотической полноте - это вопрос о
справедливости равенства Жт/out = Ж. Имеются физические основания ожидать
такой полноты. Другими словами, мы считаем, что каждое состояние
физической системы можно рассматривать либо как составленное из частиц (в
том числе из связанных состояний), либо как распадающееся в такое
состояние со временем. Примером ситуации, когда асимптотическая полнота
нарушена, служит пространство Фока, в котором имеются лишь векторы с
четным числом частиц. Таким образом, одночастичные состояния никогда не
появляются в такой теории. Если бы для теории поля в пространстве Ж
