Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
В исследуемых намич^задачах устойчивость определяется как диссипативными, так и конвективными эффектами. Такого рода задачи встречаются обычно в гидродинамической теории устойчивости, например при рассмотрении начала свободной конвекции в слое покоящейся жидкости или при переходе от ламинарного к турбулентному режиму (гл. 12), Мы остановимся также на двух 150
глава 10
важных предельных случаях: случае идеальных жидкостей, когда диссипативными процессами можно пренебречь (разд. 11.12 и гл. 13), и случае чисто диссипативных систем, когда можно пренебречь конвекцией (гл. 14—16).
В данйой главе мы изучаем задачу о возникновении свободной конвекции в слое покоящейся жидкости с температурным градиентом. Слой жидкости будет предполагаться тонким и расположенным горизонтально, жидкость — несжимаемой и нагреваемой снизу (задача Бенара). В разд. 11.12 рассмотрена задача устойчивости вертикального столба жидкости.
На возникновении термической неустойчивости в горизонтальном слое жидкости, нагреваемом снизу, удобно проиллюстрировать многие положения теории устойчивости. Мы детально обсудим физические причины появления этой неустойчивости. Кроме того, при подходящих граничных условиях, математическая задача определения критических параметров возникновения неустойчивости решается точно (разд. 11.9). Подробности, относящиеся к этой задаче, можно найти в превосходной монографии Чандрасекара [28] — к ней мы отсылаем читателя, которому понадобится дополнительная информация.
Рассмотрим горизонтальный слой жидкости, находящийся в постоянном гравитационном поле между двумя бесконечно протяженными параллельными плоскостями. Пусть на нижней границе слоя поддерживается температура Гь а на верхней T2, причем, Tі > T2. Такой перепад температур называется неблагоприятным (adverse), поскольку в результате термического расширения жидкость внизу становится легче, чем жидкость наверху.
В тонком слое можно пренебречь зависимостью плотности от давления, поэтому уравнение состояния оказывается линейным
где а — коэффициент расширения (при постоянном давлении) и р+ — плотность при некоторой заданной температуре Т*. Для изучаемых жидкостей и газов а ймеет порядок величины от IO"3 до Ю-4. Следовательно, для разностей температур порядка 10°С изменения плотности малы и р можно считать величиной постоянной. Будем считать также постоянными все коэффициенты, такие, как удельная теплоемкость с„, теплопроводность К И ВЯЗКОСТЬ Г].
Мы собираемся исследовать устойчивость состояния покоя, т.е. состояния без конвекции:
11.2. Уравнения для возмущений
р = р+[1 -а(Т-Т+)],
(11.1)
V = O.
(11.2) проблема устойчивости покоящейся жидкости 151
Соответствующее этому состоянию стационарное распределение температуры линейно
T = -$z+Tu где ? = _-g->0. (11.3)
Здесь мы принимаем систему координат, в которой нижняя граница совпадает с плоскостью х, у, а! z — расстояние от нее по вертикали. Далее, имеем
Fx = Fy = 0; Fz = -g. - (11.4)
Рассмотрим малые возмущения скорости и температурного распределения. Будем использовать следующие обозначения:
W = ovz, ui = ovi, 0 = 6Г, (г = 1, 2, 3). (11.5)
Эти возмущения удовлетворяют уравнениям баланса для приращений полной массы (у = 1), импульса и энергии (7.50) — (7.52) соответственно. Для нашего случая эти уравнения имеют вид
Ufj = O; (11.6)
рд,щ = - gta,pQ - (бPij).. {§і = 0, 0, - g); (11.7)
PcvOtO = - bWr, + PCv^w. (11.8)
При выводе линеаризованных уравнений (11.6) — (11.8) мы считали плотность р постоянной всюду кроме уравнения (11.7), которое содержит член gapO. Этот член должен быть удержан, поскольку именно он приводит к возникновению термической неустойчивости. Такой подход известен под названием приближения Буссинеска.
Для вклада бр в (11.7) мы использовали в соответствии с (11.1) и (11.5) равенство
бр = — Cip+O с- — cipO. (11.9)
Приращение потока импульса в (11.7) и приращение потока тепла в (11.8) непосредственно связаны с флуктуациями 0 и Ui. Действительно, обычные феноменологические законы (7.11) и (7.34) дают нам соотношения
б Wj = -XO4; bPij = -4{un + un), (11.10)
Поскольку жидкость заключена между плоскостями Z = 0 и z=h, очевидно, что выполнены следующие граничные условия:
0=0) (2=0
_ [ для ' , (11.11)
w = 0 J м ( z = A '
Далее, если жидк<к гь граничит с тверОой поверхностью и не мо» жет скользить вдоль нее, то
Ux = Uy = О, (11.12) 152
ГЛАВА 10
Но если поверхность жидкости является свободной, т. е. не подвержена действию тангенциальных напряжений, то
Pxz = Pyz = O. (11.13)
Прежде всего обратимся к тем свойствам, которые выводятся непосредственно из общего критерия устойчивости (разд. 7.12 и 7.13).
Условия устойчивости, обсужденные нами в разд. 11.3—11.5 специально записаны в терминах вещественных возмущений. Необходимо помнить, что соответствующие выражения в терминах комплексных возмущений можно легко получить, используя (2.76). Очевидно, что следствия в обоих случаях будут одинаковы. В разд. 11.6—11.8 мы будем использовать комплексную формулировку условий устойчивости.
