Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гленсдроф П. -> "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций" -> 60

Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.

Гленсдроф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций — М.: Мир, 1973. — 280 c.
Скачать (прямая ссылка): termodinamicheskayateoriyastrukturi1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 99 >> Следующая


Вариации 6/і и 6h можно вычислить, используя (11.52) и (11.53): б/1 = - (gafh* J [(B7)7 68* + (Sv)7 68] dV. (11.55)

б/2 = J {gav [8 ow' + w* 69 + 8* ow + w 68*] +

+ 2v* [(d^ o«; + (d^ o«t.] - va [S7 ou] + S7 OM/] -

— Vu[a/76S* + a*/76a]}d7. (11.56)

Эти два выражения подставим в (11.54). Тогда уравнения Эйлера — Лагранжа, соответствующие этому вариационному принципу, получаются приравниванием нулю коэффициентов при независимых приращениях 60*, 69, биOUi, 6Э*, 69. Группируя члены в (11.54) и используя определение (11.33) для числа Релея, получим следующее.

1) Для коэффициента при 69*

А- (87)7 + pcg?w = 0. (11.57)

Сопряженное выражение для 68 получается аналогично. Таким образом, мы имеем стационарное уравнение возмущений для энер« гии, совпадающее с первым уравнением (11.10) [см. (11.8)].

2) Для коэффициента при да]

2^(^-9^-^9=0^.-0,0, = (11.58)

Это не что иное, как стационарное уравнение возмущений для импульса, совпадающее со вторым уравнением (11.10), если учесть (11.7) и (11.20).

3) Для коэффициента при бсо*

н/7 = 0. (11.59)

Это условие несжимаемости совпадает с (ЇЇ.6), полученным из уравнения баланса для возмущения массы.

Осталось доказать, что отношение (11.50) при критическом числе Релея действительно достигает своего минимального значения. Так же, как и при выводе (11.43) из (11.34), можно показать, что

P-1MavPm [6Z'] = I1- MaI2. (11.60)

Тогда для данного критического числа Релея разность между производствами обобщенной избыточной энтропии для произвольной и критической моды с учетом (11.50) дается выражением

P-1^avPm [6Z'] = p-'^av APm [6Z'] = Ah —9U M2. (11.61)

6* 164

ГЛАВА 10

При Ma = (Ma) с все возмущения, за исключением критической моды, удовлетворяют условию устойчивости (11.34), поэтому

р-lMavPm [бZ'] == AZ1 — (Ma)c M2 > 0. (11.62)

С учетом этого условия устойчивости приращение отношения IifI2 можно записать в виде

A (1A- А+ А/, I1 __ W2 ) ~~ 12 + AZ2 /, '

= I2+ M2 (А/1 - T2 A/z) - —ITk - Л/2І > (11 -63)'

В последнем члене предполагалось, что А/г мало, а именно

M2KI2. (11.64)

Кроме того, мы использовали тот факт, что (Ma) с и 1\ — положительные величины [см. (11.52)]. Тем самым установлено, что значение (Ma)c — минимум отношения (11.50). В заключение сделаем несколько дополнительных замечаний.

Из соотношения (11.63) можно сделать вывод, что вариационный принцип, основанный на минимизации отношения 1\Ц2, мог бы быть заменен близкими вариационными формулировками, основанными или на минимизации производства обобщенной избыточной энтропии (Pm [6Z']) (11.61), или на минимизации функции (ST) (11.37), усредненной в плоскости х, у. При использовании таких формулировок мы не встречаемся с ограничениями типа (11.64), обусловленными использованием отношения (11.50), следователь-но, мы имеем дело с абсолютным минимумом. Это очень важно в численных расчетах, когда величина ошибки, вводимой пробными функциями, заранее неизвестна (см. гл. 10).

Далее, поскольку временная зависимость ехр(ш/), входящая в /і и I2, исчезает из отношения 1\Ц2, можно использовать вариационные принципы, основанные на функционалах (Pm [6Z']) или (?Г)г==о, зависящих от возмущений при t = 0. Для иллюстрации нашего вариационного принципа в разд. 11.10 проведено приближенное вычисление значения (Ma) с для простейшего случая.

11.9. Применение метода нормальных мод к проблеме Бенара

В этом разделе мы изучим проблему Бенара, применяя к ней кинетическую теорию устойчивости, основанную на анализе нормальных мод. Такой подход к этой задаче успешно применял Чандрасекар [28], поэтому здесь дан лишь краткий обзор его работы. Мы хотим показать, что можно получить свойства предельного состояния, решая задачу на собственные значения. Прежде всего исключим возмущение гидростатического давления из уравнения баланса для приращения импульса (11.7), взяв ротор от ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ 165

обеих частей (rotgrad = 0). Применяя эту операцию еще раз, после несложных преобразований получим

a,Vs» = «a (I;" + J^j + л'» (11.65)

' ("•«>

где ?— г-компонента ротора. Кроме того, имеется уравнение [см. (11.8), (11.10) и (11.27)]:

o(0 = ?o> + иУ20, . (11.67)

Произвольное возмущение может быть разложено по полному набору нормальных колебаний. Поскольку мы предполагаем, что слой жидкости заключен между двумя горизонтальными плоскостями, нормальные колебания должны иметь вид двумерных периодических волн:

W = W(Z) exp [i (kxx + kyy) + orf], (11.68)

0 =© (Z) exp [І (kxX + kyy) + (At), (11.69)

где

k = (kl+ kl)'1' (11.70)

— волновое число возмущения ии — его частота, которая, вообще говоря, может быть величиной комплексной. Ротор ? роли не играет и может быть исключен из рассмотрения ([28], стр. 32). На периодические функции (11.69) — (11.70) дифференциальные операторы действуют по следующим правилам:

-& + w = -k2' = (11-71)

поэтому уравнения (11.65) и (11.67) принимают вид

й - k2) W = - ^20 + v {¦& - k2JW' ^11-72)

= + (11.73)
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 99 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed