Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Д? = ДФ>0. (10.77)
Ясно, что задача, исследованная в разд. 10.3, является частным случаем зависящего от времени локального потенциала. В последующих главах будут даны другие приложения этого метода (см. также [166]).
10.10. Избыточный локальный потенциал
Проблему устойчивости заданного стационарного состояния, основанную на анализе нормальных мод (см. разд. 6.8), можно решить также методом зависящего от времени локального потенциала. Этот метод дает приближенные значения частот со и приближенное условие для границы устойчивости (сог = 0). В решении этой проблемы проще всего исходить из избыточного локального потенциала, достроенного с помощью уравнений баланса для приращений (7.49) — (7.52), а не уравнений (10.53). В окрестности стационарного состояния уравнения для приращений можно записать в компактной форме:
d,opY = [ojrY]; pdt ov« = [o&J; <Э,б (ре) = [6<Г]. (10.78) локальный потенциал 145
Множители — б (ц7Г-1), — Го"1 ov, и 6Г-1 теперь нужно заменить соответственно приращениями:
-б'Іб^Г"1)]; -Г0-'в'М; б' [бГ-1]. В результате вместо (10.54) получим выражение:
[ЬЖу] б'[б(ц7Г-1)]— Г^"1 [6^i]o'[6vi] +[б^бЧбГ"1}^- (10.79)
Здесь зависящие от времени решения возмущенных уравнений обозначаются символом б, а символ б' нужен для обозначения флуктуаций около наиболее вероятного решения. Стохастически это
Рис. 10.4.
AB-стационарное состояние у, (х)\ ВС— зависящая от времени нормальная мода бу\ CD—флуктуация б' [буї около нормальной моды.
изображено на рис. 10.4. По существу, возмущение рассматривается как частный случай макроскопического движения. Оно может соответствовать, например, возбуждению нормальной моды. Чтобы вывести выражение для избыточного локального потенциала тем же способом, каким был получен полный, зависящий от времени локальный потенциал из (10.54), надо рассмотреть выражение (10.79). Мы предлагаем читателю проделать это в качестве самостоятельного упражнения; в гл. 12 будет приведен пример.
Основное достоинство метода избыточного локального потенциала состоит в том, что для него самосогласованный метод с приближениями типа (10.25) для возмущений б при учете дополнительных условий (10.27) приводит к системе алгебраических уравнений (19.26), линейных и однородных по параметрам {а0}. Действительно, эти возмущенные уравнения должны тождественно 146
глава 10
удовлетворяться для исчезающих значений возмущения б. Тогда в силу условия постоянства {а0} можно исключить из уравнений. Следовательно, для вычисления значений со можно сразу вывести приближенное дисперсионное уравнение (см., например, гл. 12).
10.11. Локальные потенциалы в кинетической теории
Определение функции распределения по кинетическому уравнению— основная задача как в статистической механике, так и в кинетической теории. В линейной области, соответствующей малым отклонениям от локального равновесия, можно с успехом использовать вариационный метод [131]. Заметим, что при рассмотрении несамосопряженных задач вдали от локального равновесия (область нелинейности, система во внешнем поле и т. п.) уже невозможно вывести кинетические уравнения из лагранжиана. В этом разделе будет показано, что понятие локального потенциала, введенное ранее в макроскопической физике, можно использовать для определения функции распределения, по крайней мере методом последовательных приближений [124—126, 153].
Рассмотрим систему многих частиц, характеризуемую их мгновенными координатами Xi и скоростями v*. Предположим, что система разрежена настолько, что столкновения между частицами можно считать мгновенными, и будем рассматривать только парные столкновения. Такие системы полностью описываются одно-частичной больцмановской функцией распределения f{xuVi,t). Во внешнем поле сил F1 (на единицу массы) функция распределения / удовлетворяет уравнению Больцмана [30]
где /(/,/)—интеграл столкновений. В рассматриваемом приближении I(f, f) не зависит от Fi, Xi и t. Кроме того, в частном случае разреженного однокомпонентного нейтрального газа, состоящего из молекул, не обладающих внутренними степенями свободы, / (/, /) имеет хорошо известный больцмановский вид:
В этом выражении: о — сечение рассеяния; штрих указывает на величину после столкновения; интегрирование по скоростям ведется в пределах от —оо до +оо и по единичной сфере для К; к — единичный вектор вдоль относительной скорости g — v— v]. Заметим, что /в — нелинейный оператор по f. Это основная особенность кинетической теории, благодаря которой вдали от равновесия нельзя пользоваться обычным вариационным принципом.
Теперь, оставаясь в рамках теории флуктуаций, перейдем к ^-,Vj-npocTpaHCTBy. В любой точке этого пространства в момент
ж + ^ + ^ж-Пї, f).
(10.80)
(10.81) ЛОКАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 147
времени t функцию распределения f(xi, vt-, t) можно рассматривать как функцию, флуктуирующую около некоторого среднего^значе-ния f. Пусть
f = f + of. (10.82) Подставляя это выражение в (10.80), получим
Так же как и в разд. 10.9, умножим обе части (10.83) на —f-1df и проинтегрируем по Xi, Vj. После аналогичных преобразований правая часть (10.83) принимает вид
