Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
11.7. Принцип смены устойчивости и критерий эволюции
Мы покажем теперь, что в проблеме Бенара конвекция устанавливается как стационарное движение или, говоря иначе, что выполнен так называемый принцип смены устойчивости ([28], гл. 1 и 2). Это значит, что в предельном состоянии (шг = 0) частота со действительна (т. е. (O1 = O). Фактически мы докажем даже, что CO1 = 0 и для неисчезающих (ог.
Исходя из эволюционного критерия, обобщим сначала результаты разд. 9.6 на случай с конвекцией. Пользуясь тем же методом, умножим обе части уравнения для приращения импульса (11.7) на — dtu*i,а уравнения для приращения энергии (11.8) на
в соответствии с весовыми функциями, определенными в (11.30) и (11.32). Проделаем те же преобразования с уравнениями для комплексно-сопряженных амплитуд и сложим полученные результаты. Выполняя затем в правой части получившегося соотношения интегрирование по частям (разд. 9.2) и используя выражение (11.6), получим после обращения в нуль поверхностных членов критерий эволюции в виде
- 2 ((D2 + со2) J P ее- + «,«;) dV=
= ((Dr - I(Oi) J P [№)-' ^?^ Q4Q:, + VUnUi4 - ga (wQ' + а»*0)] dV +
-+- ((Dr + UDi) J" P [№)-' ^^ Q4Q4 + VUi4Ul4 - g<x (w-Q + WQ-)] dV^O.
(11.45) ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ПОКОЯЩЕЙСЯ жидкости
161
Это выражение является непосредственным обобщением неравенства (9.52), которое включает конвективные эффекты. Действительно, выражение (11.45) можно записать в компактной форме
К + й?) 6^' = ®Л, № + ®іПт [bZ'\ <0. . (11.46)
Как и при доказательстве (9.57), равенство [ср. с (11.40) и (11.41)]
UrVmZ'= PJbZ'] (11.47)
позволяет записать отдельно:
Vfi3mZ' = CoiIUSZKO. (11.48)
Но непосредственно из неравенства (11.45) видно, что в этой задаче Um [6Z'] тождественно равно нулю. Следовательно, получаем
W1==O," (11.49)
поскольку OmZ' — отрицательно определенная квадратичная форма [см. (6.39)]. Таким образом, осциллирующие возмущения стационарного состояния, соответствующего покоящейся жидкости, невозможны вплоть до предельного состояния и включая его. С помощью нашего критерия эволюции мы вывели свойство, ранее установленное Пеллью и Саутвеллом [135] путем детального анализа уравнений для возмущений в предельном состоянии.
Использованный метод представляет интерес благодаря его большой общности. Как только антисимметричный вклад П в критерий эволюции может быть исключен подходящим выбором весовых функций, становится справедливым принцип смены устойчивости.
11.8. Вариационный принцип безусловного минимума для критического числа Релея
С помощью выражения (11.44) число Релея в предельном состоянии может быть выражено отношением двух интегралов
= (11.50)
* 2
Критическое значение (01а) с, соответствующее началу конвективной неустойчивости, — наименьшее из всех допустимых отношений, если функции в правой части (11.50) выражены через стационарные решения уравнений для возмущений. Мы покажем, что критическое число Релея является безусловным минимумом правой части (11.50). Как известно, при отыскании безусловного минимума все функции, входящие в правую часть, должны варьироваться произвольно и независимо одна от другой; при этом они должны только удовлетворять граничным условиям, Предлагаемый нами
6 Зак. 666 162
ГЛАВА 10
вариационный принцип отличается от вариационных формулировок, данных ранее Пеллью, Саутвелом и Чандрасекаром [28]. В прежних формулировках требовалось, чтобы все неизвестные функции были выражены через одну из них с помощью самих уравнений для возмущений [28], а в нашем подходе независимо варьируются все функции.
Отношение (11.50) первоначально было получено из уравнений для возмущений (11.6) — (11.8). Теперь же мы используем его как основу для вариационного принципа, уравнениями Эйлера — Лагранжа которого будут уравнения для возмущений в предельном состоянии (стационарные состояния; разд. 11.7). Такой подход применим лишь при условии, что при выводе уравнения (11.43) не было сделано дополнительных предположений. В противном случае мы должны были бы учесть эти дополнительные условия с помощью лагранжевых множителей. Именно так следовало бы поступить с условием несжимаемости Uyj = 0 [см. (11.25) — (11.26)]. Но мы хотим получить его как одно из уравнений Эйлера—Лагранжа, не употребляя лагранжевых множителей. С этой целью запишем (11.43) в полной форме
J P [W1 js^r1 B.jB:, + 2vdtl<rtl - ga (Bw' + 0?) -
— o(Su)7 + S*un)]dV = 0. (11.51) (Э^бр)
При этом условие несжимаемости включается только в основные уравнения (11.6) и (11.8), но не в (11.7) *). Тогда интегралы в (11.50) имеют вид
Ii = (ga)2h4 j e-jQ'/dV (11.52)
и
12 = f fgav (9®* + Є» - 2v4t}d], + vo (Su].t + 0*«/7)J dV, (11.53) Теперь будем минимизировать отношение (11.50). Из (11.50) имеем bMa = -j— [olі - o/2) = -і- ((,I1 - Ла бI2),
следовательно, условие минимума следующее:
^Il-MabI2 = O. (11.54)
*) Эти ограничения можно снять, если получить (11.51) непосредственно из уравнений (11.6—11.8). При этом нужно использовать общий метод, развитый в разд. 7.5, вместо того, чтобы вводить различные ограничения (такие, как условие несжимаемости, приближение Буссннеска и т. д.), как это было сделано при выводе (11.31) из общих условий устойчивости. проблема УСТОЙЧИВОСТИ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ 163
