Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Ф{Т,т0)
S
\Ф(Г„, T0) X
R
AfJ І І І І
Рис. 10.3. Зависимость локального потенциала Ф(Г, Ta) от температуры Т.
M—минимальное значение точного решения; R — минимум для п-го приближения по методу Релея—Ритца; S — самосоглассованное решение в том же приближении.
зависящий от приближения. Вернемся теперь к решению Ton уравнения (10.28); предположим, что
Qn^Ton=Ton. (10.32)
Мы хотим найти условия, при которых для всех п (рис. 10.3)
І Є„ I < I е„ I (10.33)
или, по крайней мере, имеется сходимость в среднем:
}/Je2ndV <j/JeldV : (10.34)
Чтобы ввести 0„, вычтем (10.29) из (10.28), затем умножим подынтегральное выражение на (аоь — ah) и просуммируем по k. Замечая, что
получим
Gn = 2 (аoft — oft) <Pft (*/),
A=I
J е„ [XonTonTon't — KoToTn')]'/ dV = 0.
(10.35)
(10.36) 136 глава 10
После интегрирования по частям и с учетом исчезновения граничного члена уравнение (10.36) принимает вид
JUTl (Qn'ifdV = -J(Wo»-Ao7o) On7ITorl + (Є„ + вя)]7dV. (10.37)
Оперируя этим уравнением, так же, как и при выводе (10.13), можно показать, что левая часть (10.37) равна удвоенному приращению
Ф (То То) — Ф (7
л» Го).
При малых O71 и еп в разложении можно оставить только члены первого порядка:
Я0„Го„ = Я0Го + (ЯоГо)'(Є„ + е„)+ (10.38)
которые в уравнении (10.37) становятся членами второго порядка. Тогда получаем
J ЯоГо (On7)2 dV = - J (Є„ + е„) 0пч ЫТІ),і dV. (10.39)
Это соотношение дает следующее неравенство между модулями:
Mmln J (0„7)2 dV < I (KoTl)., |max J (І Є„ I + I е„ I) I 0„7 I dV. (10.40)
Индексы «min» и «шах» означают соответственно нижний и верхний пределы при данном V\ хотя эти пределы неизвестны, они не зависят от приближения. Применим к каждому члену в правой части (10.40) неравенство Шварца*) и разделим затем обе части неравенства на величину
Y[I ^ifdv)
В результате
Mmln [J(Qa.,)2dv]''< IMD7ImaxJJe2 dvf+[jє2 dV]''). (10.41) Используя неравенство**)
\{?n-ifdV>~ feUv, (10.42)
*) (f. 8)2 < (/, И (ff. Sh (f. 8)-j fg dV; см. [32].
**) Напомним, что для любой кусочно-непрерывной функции у(х), обращающейся в нуль при X = Xo и X — Xu интеграл
jV-стФ
ха
всегда положителен [32]. Обобщение на трехмерный случай проводится аепо*. средственно. локальный потенциал 137
можно избавиться от производной Q„j в левой части (10.41). Здесь L — длина, определяемая равенством
+ + (10.43)
где а, Ь, с — ребра параллелепипеда, заключающего объем V, вдоль осей X, у и Z соответственно. Запишем также
IM1 [max = (V°2)max~(V°)ni'n , (10.44)
где (Ао7І))тах соответствует экстраполяции до указанного значения длины L. Вообще говоря, эта экстраполяция будет больше максимума %0То внутри Объема. Наконец, подставляя (10.42) и (10.44) в неравенство (10.41), получаем
{(АоГо2) mln [(АоГо2) max M min ]} [ J 6« dvj1" <
< [(ЛоГЭп,« - Mmln] [ J E2n dvf . (10.45)
Согласно (10.34), этим соотношением устанавливается сходимость в среднем при условии, что
Mmax- Mmin < (1(U6)
(VoJmIn
Неравенство (10.46) является лишь достаточным условием. Пользуясь, например, переменной Т, а не Т~{, и лагранжианом (10.19) вместо (10.8), можно тем же способом получить несколько отличное условие:
mIx ~ Я°mln < я. (10.47)
Ло mln
Более тонкий анализ мог бы дать менее жесткие условия. При некоторых зависимостях Я от T может быть даже так, что не потребуется никакого дополнительного условия, как и в обычном методе Релея — Ритца.
Мы видим, что положение здесь такое же, как в обычных самосопряженных задачах. Существование вариационного метода позволяет найти некоторые дополнительные свойства, не вытекающие из уравнений Галеркина (10.28). Но так как локальный потенциал не является истинным, выводы получаются менее убедительные, чем в обычной самосопряженной задаче. На самом деле сходимость метода локального потенциала выходит за рамки области, ограниченной выведенным выше достаточным условием. В качестве примера рассмотрим экспоненциальную зависимость % от T [175]
ЫТ) = \ ехр (— §Г). (10.48) 138
глава 10
В работе [175] автор исследовал одномерную стационарную задачу теплопроводности в изотропной среде, заключенной между стенками, которые поддерживаются при заданной температуре. В этом простом случае можно получить точное решение. Оно соответствует минимуму потенциала [ср. с (7.15)]:
®».Y) = T J (-ІТ(10-49)
Сравнение значений Ф, полученных из точного решения и методом локального потенциала (табл. 10.1), указывает на очень быструю сходимость в области, гораздо более широкой, чем следует из условий (10.46) и (10.47). Результаты, полученные методом локального потенциала, соответствуют первому приближению, т. е. одному члену в системе (10.25). Учитывая замечание относительно равенства (10.17), можно доказать, чго условия сходимости (10.46) и (10.47) справедливы и без ограничений (10.38) и (10.39) на величины отклонений On и е„ [58]. Как и в классическом методе, здесь труднее всего доказать полноту системы функций щ-
Таблица 10.1
