Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
В разд. 10.8 будет приведено общее выражение для локальных, потенциалов, которое иллюстрируется несколькими примерами в гл. 12. В связи с этим, необходимо подчеркнуть, что в практических целях локальный потенциал можно использовать и в обычных вариационных методах, независимо от его физической интерпретации, например на основе формулы Эйнштейна. В этом случае предположение о локальном равновесии непринципиально и метод вычисления можно применять к более общим задачам, относящимся, например, к реологии, для которой локальная энтропия может зависеть от дополнительных переменных. Некоторые приложения такого типа были исследованы Шехтером [166].
10.2. Локальный потенциал в задаче теплопроводности
Рассмотрим уравнение баланса энергии (1.44) в твердом теле:
Pdte = -Wvh- (10.1)
Умножим обе его части на б7м и проинтегрируем по всему объему. После интегрирования правой части по частям для фиксированных граничных условий получим
I pbT-xdtedV = ^WibTf dV (10.2)
или, используя закон Фурье (3.11),
J р bT~xdte dV = \-\ 1Т2Ь {Т'іУ dV. (10.3)
Здесь рассматривается стационарная задача, а зависимость от времени будет изучена в разд. 10.3. Вблизи стационарного состояния, характеризуемого температурой Т0(х}), имеем
dte = dtbe (10.4)
и, если пренебречь членами более высокого порядка,
KT2 = KqTq + б (ЯГ2). (10.5)128
глава 10
Тогда соотношение (10.3) можно записать в виде J р б Г" Ч бе dV = у J (7V)2 + T J 6 M 6 (^V1)2 (10.6) .
Согласно уравнению (7.1), левая часть (10.6) равна y(3t62S. Следовательно, правая часть соответствует производству избыточной ©нтропии. Так как в данном случае условие устойчивости выполнено [см. (7.8) и (7.19)], производство избыточной энтропии положительно.
В окрестности стационарного состояния обе части (10.1)—величины первого порядка. Таким образом, уравнение (10.6) устанавливает соотношение между величинами второго порядка и поэтому вторым членом в правой части (10.6) нельзя пренебречь по сравнению с первым. По той же причине знак одного первого члена не определяется условием устойчивости. Исследуем знак первого члена отдельно. Для этого введем следующее обозначение:
Ф(Т, T0)= j &(Т, To)dV, (10.7)
где подынтегральное выражение — лагранжиан
&(Т, Го) =Yao7I(7V1)8; (10.8)
тогда первый член в (10.6) равен 6Ф. Величина Ф является функционалом двух переменных: неварьируемой переменной T0 — предполагаемого решения (оно еще будет определено) —и переменной Г, которая варьируется. Ниже будет показано, что T можно интерпретировать как флуктуирующее температурное распределение, среднее от которого равно T0 [см. (10.21)].
Исследуем теперь условие, при котором интеграл Ф стационарен (экстремален) по отношению к вариациям Т. Это классическая задача вариационного исчисления [32]. Условие стационарности дается уравнением Эйлера — Лагранжа:
J?- = -[K0TlT-,1).I = 0. (10.9)
При этом мы должны считать, что решение T+(Xj) этого уравнения совпадает с предполагаемым решением T0. Это а posteriori приводит к дополнительному условию:
T+ = Г0, (10.10)
подставляя которое в (10.9), получим экстремаль
(^S-) = (10.11)локальный потенциал
129
т. е. стационарное уравнение задачи теплопроводности. Таким образом, подынтегральное выражение (10.8) функционала (10.7) можно интерпретировать как обобщенный лагранжиан. Исследуем природу этого экстремума. Для этого вычислим Ф(Т, T0) вблизи стационарного состояния. Получим
АФ = Ф(Т, Т0)-Ф(Т0, T0) =
=4 J ^o T20 {[(Го-1 + Є),у]2 - [Го'Л2} dV (0 = T~l - 77і). (10.12)
Раскрывая скобки в правой части (10.12) и интегрируя по частям линейный по 0 член, увидим, что этот член равен нулю благодаря (10.11). Следовательно, вблизи стационарного состояния
АФ = 1|ЯоГ2О(0,)2^>О. (10.13)
Поэтому экстремум Ф соответствует абсолютному минимуму. Функционалы, обладающие свойствами (10.11) и (10.13), будем называть локальными потенциалами (локальными по отношению к функции Г0). С другой стороны, из (10.13) следует, что первый член в правой части (10.6) положителен.
Вообще функционал типа Ф{уи, у^) от нескольких функций yk(k=\, 2, ...) будем называть локальным потенциалом, если выполнены следующие условия:
1) условие первого порядка для минимума Ф по отношению к уь
6Ф = 0 (10.14)
совместно с дополнительными условиями
УІ = Уйк (10-15)
не противоречат законам сохранения для уь\
2) условие более высокого порядка
ДФ>0 (10.16)
для абсолютного минимума всегда выполнено.
Отметим, что условие второго порядка, менее жесткое, чем условие (10.16),
АФ = у б2Ф > 0 (10.17)
нам не подходит, так как пользоваться локальным потенциалом в качестве основы вариационной техники значит пользоваться пробными функциями, соответствующими произвольным отклонением от неизвестного решения. Например, по определению функционал
F(T, T0) = J Wo1Tj dV=[ XoTlTjjTJ dV (10.18)
5 Зак, 566130
глава 10
удовлетворяет первому условию, но второму не удовлетворяет, И поэтому его нельзя рассматривать как локальный потенциал. В самом деле, интегрирование по частям немедленно дает AF =' = 0 вблизи стационарного состояния, а не условие минимума (рис. 10.1, а).