Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
11.3. Условия устойчивости для слоя жидкости
Применим к задаче Бенара отдельно термодинамическое (7.98) и гидродинамическое (7.102) условия устойчивости. Вследствие граничных условий (11.11) — (11.13) поверхностные интегралы (7.99) и (7.103) исчезают. Мы получаем условия устойчивости, содержащие лишь объемные интегралы
P [є2 65] > 0; Р[х2ЬЕып] < 0. (11.14)
Развернутые выражения для соответствующих источников можно получить из уравнений баланса для приращений (7.96), (7.97) и (7.101). Они значительно упрощаются при использовании условия (11.2) и приближения Буссинеска (разд. 11.2). Используя феноменологические законы (11.10) и принимая т2 = 1, получим следующие уравнения:
0^z 0vI-/ = o/»i/M*v = — л (и,./ Ч- «у*) «і-/ = — 2ті<і|/; (11.15)
Fi бр бV= gap0«r; (11.16)
6Г ,6 (є2!"1)., = Ae2J"2 (Є7)° + у A(O2)1-Crt2)..; (11.17)
- б {pi/Г-')б(е2уг7) 4- ъТ~х bPii 6vn = 0; (11.18)
- є2 бV/ [Г-7'б (pe) - (цГ-1)./ бр] = — PCt^ayOe2Jr-2. (11.19) В соотношении (11.15) мы использовали обозначение
<Us = Jiun+ Ufi)-, (11.20)
удобно также принять
е = Г0, (11.21)
где индекс «о» относится к невозмущенному состоянию. Тогда в уравнениях (11.17)-^(11.19) следует положить бе2 = 0. Вследствие проблема устойчивости покоящейся жидкости 153
этого второй член в правой части (11.17) исчезает и уравнение принимает вид
-bW ,Sr7 = A(G7)2. (11.22)
Мы имеем здесь типичный пример алгебраического упрощения, которое достигнуто подходящим выбором весовой функции. Теперь подставим эти соотношения в источники уравнений баланса (7.96) и (7.101). В результате получим условия устойчивости для задачи Бенара в развернутой форме.
Гидродинамическое условие устойчивости. Второе неравенство (11.14) дает
J [2Vd2j - - VUrj бр] dV > 0, (11.23)
где v — кинематическая вязкость:
V = f (11.24)
Поскольку слой неограничен в горизонтальных направлениях, возмущения 0, Mi, бр — периодические функции X и у. Следовательно, интегрирование по л: и у сводится к усреднению в горизонтальной плоскости. Будем обозначать такие усредненные величины, используя угловые скобки; тогда неравенство (11.23) можно записать б виде
й
J [2V (d2,) - ga (Qw) - v (ип бр)] dz > 0. (11.25) о
Последний член в (11.25) равен нулю, поскольку жидкость считается несжимаемой (11.6). Вычитая из подынтегрального выражения (11.25) нулевую величину v (м/';)2 и интегрируя по частям первый член в (11.25), получим после некоторых упрощений h
J [V ((ип)2) - 8<* (6®)] dz > 0. (11.26)
о
Условие термодинамической устойчивости. Первое неравенство (11.14) после аналогичных преобразований превращается последовательно в
J [K{Q,)2-№w + j-vunbp\dV>0 (11.27)
и
h
J [и ((6'/)2) — ? (б®)] dz > 0, (11.28)
о
где к — коэффициент теплопроводности: 154
ГЛАВА 10
Неравенство (11.26) хорошо известно. Его смысл был разъяснен Чандрасекаром *): «Минимальный перепад температур, при котором возникает неустойчивость, должен быть таким, чтобы возникал стационарный баланс между вязкой диссипацией кинетической энергии и производством внутренней энергии за счет сил выталкивания». Таким образом, неравенство (11.26) является следствием конкуренции между диссипацией кинетической энергии и возникновением внутренней энергии.
Интерпретация неравенства (11.28) несколько другая. Первый его член соответствует производству энтропии, возникающему за счет температурных флуктуаций, а второй — потоку энтропийных флуктуаций, увлекаемых флуктуациями вертикальной составляющей скорости. Следовательно, смысл второго неравенства состоит в том, что минимальный перепад температур, при котором возникает неустойчивость, должен быть таким, чтобы существовал стационарный баланс между производством энтропии за счет теплопроводности от температурных флуктуаций и потоком энтропии, переносимой флуктуациями скорости.
Если поток энтропии превосходит производство энтропии за счет теплопроводности, флуктуации начнут проникать глубоко в слой жидкости и состояние покоя станет неустойчивым. Отметим, что оба неравенства (11.26) и (11.28) выражают свойства флуктуаций. Диссипация кинетической энеррии в (11.26) связана с флуктуациями скорости, но поскольку мы изучаем устойчивость состояния покоящейся жидкости, эта диссипация равна полной диссипации кинетической энергии в системе. Напротив, производство энтропии в (11.28), связанное с температурными флуктуациями, не следует путать с производством энтропии в результате температурного перепада (11.3). К этому вопросу мы еще вернемся в разд. 11.11, когда будем кратко рассматривать проблему Бенара для бинарных смесей. Там мы увидим, что неустойчивость может возникнуть даже тогда, когда более легкая жидкость находится наверху!
11.4. Неустойчивость Бенара и производство энтропии
В разд. 11.3 устойчивость слоя жидкости обсуждалась на основе двух различных условий устойчивости — гидродинамическом и термодинамическом. Теперь рассмотрим полные термогидродинамические условия (6.39), точнее, их форму (6.40) и (6.41), которая позволит нам использовать подходящие весовые функции. Здесь
