Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже говорили об аналогии между проблемой Бенара и фазовым переходом. Рассмотрим эту аналогию подробнее. Ниже критического числа Релея возмущенные уравнения (11.6) — (11.8) имеют только тривиальное (нулевое) стационарное решение, соответствующее состоянию покоя (разд. 11.10). Все нормальные 158
глава 10
колебания затухающие: <ог < 0 (и все <ot исчезают, как показано в разд. 11.7). При Sla = (Sla)c, кроме тривиального решения, у возмущенных уравнений появляется еще одно новое нетривиальное решение. Как было показано в разд. 11.4, функция определенная соотношением (11.35), принимает для этих двух решений одно и то же значение. Эта функция зависит Ot амплитуды возмущений и от таких параметров, как длина волны или волновой вектор рассматриваемой нормальной моды (см. также разд. 11.10).
Построим зависимость от таких параметров, предполагая для простоты, что имеется только один параметр — волновое число 4. Рис. 11.3, а отвечает случаю, когда устойчиво состояние покоя
<P[S]>
<р>
<ъ>
<!Г>
Vy
$}a>(?ta)
Рис. 11.2. Схематическое изображение производства энтропии. а — термодинамическая ветвь, содержащая равновесное состояние Е\ o — ветвь, связанная с возникновением критической нормальной моды.
Рис. 11.3. а — состояние покоя устойчиво; (/о) минимально; б — выше точки перехода состояние покоя неустойчиво; минимум (?) достигается на новом решении, которое предполагается устойчивым.
Ща <. (31а) с]. Соответствующие значения (?Г0) ИЗ (11.38) меньше, чем {&") для всех величин і.
Однако, ЄСЛЙ ЧИСЛО 31а немного больше, чем (31а) с значение (5Ґ) для критической нормальной моды будет немного меньше, чем (#"о)> и минимум будет реализован на новом решении, если оно устойчиво (рис. 11.3,6).
Многообразие решений, соответствующих покоящейся системе, назовем термодинамической ветвью (thermodynamic branch). В точке Бенара термодинамическая ветвь становится неустойчивой, и мы переходим на новую «ветвь» (рис. 11.2). С этим переход дом связано возникновение диссипативной структуры. В самом деле, в критической точке система переводит часть своей тепловой энергии в кинетическую энергию, необходимую для поддержания макроскопического стационарного движения в ячейках, которое-связано с возникновением свободной конвекции. Тогда слой жидкости можно представить составленным из соседствующих друг с проблема устойчивости покоящейся жидкости
I
.159
другом ячеек, образующих в горизонтальной плоскости гексагональную решетку ([28], гл. 2). Стационарное движение в этих ячейках рассматривается в разд. 11.7.
Функция (ST) играет здесь роль, сходную с ролью свободной энергии Гельмгольца в обычных фазовых переходах. Параметры, такие, как волновое число возмущения (рис. 11.3), соответствуют интенсивным переменным.
Два стационарных состояния (4 = 0 и 4 = изображенных на рис. 11.3,6, разделены последовательностью нестационарных процессов. Но имеется и существенное отличие от фазовых переходов вандерваальсова типа (рис. 11.3). Мы не имеем в данном случае двух стабильных или метастабильных равновесных состояний, разделенных одним нестабильным равновесным состоянием. Здесь до точки Бенара существует'только одно стационарное состояние, а затем, сразу за точкой Бенара, мы получаем два стационарных состояния — одно стабильное и одно нестабильное. Если увеличивать число Релея за пределы (&а)с, стационарному состоянию будет отвечать суперпозиция все более увеличивающегося количества нормальных мод.
В гл. 16 мы встретимся с некоторыми примерами, более близкими к переходам вандерваальсова типа, когда возникают два стабильных стационарных состояния, разделенных одним нестабильным состоянием.
11.6. Условие нейтральной устойчивости
Рассмотрим слой жидкости в предельном состоянии нейтральной устойчивости, которое является границей между устойчивыми и неустойчивыми состояниями. Согласно кинетической теории устойчивости, основанной на анализе нормальных мод, предельное состояние достигается в тот момент, когда действительная часть частоты нормальной моды исчезает.
В соответствии с (6.34) и (6.39) термогидродинамическое условие нейтральной устойчивости можно записать в виде
dtb'i Z' = 2»t6^Z' = 0. (11.40)
Здесь штрих означает, что использованы весовые.функции (11.30). Как было показано в гл. 7 [см. (7.94) и (7.95)] для неварьируемых граничных условий
jdt62mZ' = P m[oZ'\, (11.41)
поэтому из условия (11.40) следует, что
Pm[bZ'] = 0. (11.42)
Применяя правило (2.76) для комплексных величин, можно получить из (11,34) следующее развернутое условие нейтральной 160
глава 10
устойчивости:
I P [(Ma)-1 iga^h* Q1Qt4 + VUi4Uvi - get (Эш* + Q*w)]dv = 0 (11.43)
Значение числа Релея, соответствующее этому состоянию, получается из (11.43) после усреднения по плоскости X, у
h
(ga)2ft4 !(e.^dz ^a =-J---h-. (11.44)
gav j ((Єю*) + (e'w)) dZ-V2J (UrjUi-I) dz о о
Наименьшее значение этого отношения, вычисленное по нетривиальным нулевым решениям уравнений для возмущений (11.6) — (11.8) равно критическому числу Релея, которому соответствует возникновение свободной конвекции. Это свойство критического числа Релея позволяет применить вариационный подход для его определения (разд. 11.8 и 11.9). Но сначала вычислим величину W1 (мнимую часть со) в предельном состоянии.
