Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
- Jal gl{П\~ ff,)ftIgfrfvdv1 dxdK. (10.84) Столкновительный член теперь можно симметризовать:
^coi = - у J cr| g IifTl - ff,) fi lg ff, dvdv, dx dK =
= -j Jffl ff Iffi (l -^-) Slg-^dvdv1 dxdK. (10.85)
Ясно, что величины (10.84) и (10.85) не являются полными дифференциалами по отношению к оператору б. Следовательно, 9? нельзя записать в виде б'Ф' некоторой непрерывно дифференцируемой функции xF. Теперь воспользуемся фундаментальным свойством локального потенциала и построим новый функционал двух функций исходя из (10.84):
* (f'f)-= J (4 +ъ -Wt-+F< тгУlg<hdx'-
, Jcrl г Iff. (і - + Igjlfjdvdv1 dxdK. (10.86)
Прямым вычислением можно проверить, что W(f,f) удовлетворяет основным условиям (10.14) — (10.16), а именно: а) вариационное уравнение
^ZI = O - (10.87)
с дополнительным условием
f = f (10.88)
Дает уравнение Больцмана (10.80). В терминах теории флуктуаций это условие можно, интерпретировать как отождествление наиболее вероятной функции распределения со средней; 148
глава 10
б) функционал W(f, f) удовлетворяет условию
Чr(f,f)>y(f,f) или AW > 0 (10.89)
Действительно, легко проверить, что приращение AxF по членам второго порядка содержит положительно .определенную квадратичную часть, зависящую от диссипации, а линейные члены взаимно уничтожаются, как в приведенных примерах. Следовательно, функционал 1F, заданный уравнением (10.86), пригоден в качестве локального потенциала для уравнения (10.80). С помощью элементарных преобразований можно показать, что в пределе малых градиентов и внешних сил, т. е. когда система близка к равновесию, tF становится функционалом от одной функции и сводится к лагранжиану для линейной области необратимых процессов (см. также разд. 10.2). Такие лагранжианы тесно связаны с производством энтропии, выраженным здесь через функцию распределения, а не через термодинамические средние [131]. Однако в общем случае из уравнения (10.86) все же можно получить обобщенный вариационный принцип, пригодный для определения функции распределения в нелинейной области, что соответствует первому приближению Чепмена— Энскога (см. работу [30]).
Метод локального потенциала особенно интересен для разреженных газов и плазмы, где нельзя сделать предположения о локальном равновесии. Но даже в обычных задачах газокинетической теории этот метод можно использовать для вычисления высших приближений Чепмена — Энскога. Конечно, в этом случае пробные функции нужно выбирать, исходя из локальных равновесных распределений Максвелла. Читателя, интересующегося приложениями, отсылаем к оригинальным статьям, посвященным этому вопросу [27, 125].
10.12. Сравнение с другими вариационными методами
Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационного исчисления, который в частном случае самосопряженных уравнений сводится к классическому методу Релея —Ритца. Конечно, существуют и другие методы построения функционалов, дающих стационарное решение заданной несамосопряженной системы дифференциальных уравнений. Для этого строятся лагранжианы, содержащие дополнительные неизвестные функции, не входящие в первоначальные уравнения. Общий обзор таких методов и особенно методов, относящихся, к ассоциированным функциям, дан Шехтером [166]; этот автор рассматривает также трудности, которые могут здесь возникнуть. Методы, основанные на ассоциированных функциях, не следует путать с методом локального потенциала. Как мы видели, метод проблема устойчивости покоящейся жидкости
149
локального потенциала основан на различии между флуктуирующими функциями и их наиболее вероятными значениями.
Некоторые авторы предлагали вариационные методы, в которых неизвестная функция в одних членах лагранжиана варьировалась, а в других оставалась постоянной. Однако это было сделано только для некоторых частных случаев.
Как следует из (10.28), метод Галеркина и метод локального потенциала приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера — Ла-гранжа. Основное достоинство метода Галеркина заключается в его большой общности [87]. Он может быть использован в решении и несамосопряженных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. К сожалению, этот метод не имеет вариационной природы и потому не содержит никакого минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений (разд. 10.5—10.7) Именно в этом пункте метод локального потенциала вносит существенное дополнение к методу Галеркина, так как заранее постулирует свойство минимума. Кроме того, во всей области, где справедливо предположение о локальном равновесии, минимальное свойство допускает очень интересную физическую интерпретацию. Как показано в гл. 8, этот минимум соответствует наиболее вероятному состоянию, что согласуется с формулой Эйнштейна для флуктуаций около неравновесного состояния.
ГЛАВА
-- 11 -
ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
ПЛ. Введение
Теперь мы переходим к применениям теории, развитой в предыдущих главах. Мы рассмотрим в основном такие случаи, к которым можно применить линейную теорию устойчивости (гл. 6—7) и критерий эволюции (гл. 9). В гл. 12 рассмотрены приложения метода локального потенциала, изложенного в гл. 10. Такое рассмотрение различных частных случаев применения условий устойчивости совершенно необходимо, так как данная нами формулировка этих условий весьма общая и, следовательно, рассмотрение частных случаев проясняет физическое содержание теории.
