Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
10.3. Задача теплопроводности, зависящая от времени
Метод локального потенциала легко распространить на временные задачи, характеризуемые температурой T0(Xj,t). Сначала из подынтегральных выражений обеих частей уравнения (10.3) вычтем величину pdte0oT-1 (р==р0). Тогда вместо уравнения (10.6) получим
J р бT~ldt oedV = ( [у A0T2Mt',1)2 - p0dte0 6Г_І] dV +
+ j I Ь{ХТ2)Ъ{Т-,1)2 dV. (10.22)
Так как левая часть (10.22) та же, что и в уравнении (10.6), два члена в правой части соответствуют положительному производству локальный потенциал 133
избыточной энтропии и остаются, как и предполагалось, величинами второго порядка. С помощью первого члена построим локальный потенциал. Для этого лагранжиан (10.8) заменим выражением, зависящим от времени *)
Я(Т, Г0)=4-А0Г*(Г7Т-Portio, (10.23)
и зададим дополнительное условие (10.10) для всех t. В этом случае уравнение Эйлера — Лагранжа будет совпадать с уравнением теплопроводности, зависящим от времени:
(^т) = (Vov)7 - Poc0A^o = 0. <ю:24)
T9
С другой стороны, из-за того, что в ДФ новый зависящий от времени член и линейный по 0 член взаимно уничтожаются, выполняется условие абсолютного минимума (10.13). Поэтому и здесь изменение локального потенциала дает положительный вклад в производство избыточной энтропии и является минимальным для макроскопического движения. Наконец, сохраняются все свойства, установленные для стационарного состояния, за исключением (10.20). Поэтому нельзя вывести простое соотношение между локальным потенциалом и производством энтропии.
10.4. Сравнение с методом Галеркииа
Рассмотрим нелинейную задачу теплопроводности в стационарном случае. Предположим, что решение T0(Xj) уравнения Фурье (10.11) всюду в объеме V можно разложить по полной системе линейно независимых функций {фh(Xj)}, каждая из которых удовлетворяет граничным условиям. Запишем приближения я-го порядка
п п
Tn1 = 2(*/) и т0п =Saok^k(Xj), (10.25) і і
где {а} и {ао} — две системы параметров, и подставим их в локальный потенциал Ф (TtT0). Проведем минимизацию, как в обычном методе Релея — Ритца [87], по каждому параметру аь. при постоянных {а0}- Тогда, после интегрирования по Xj получим систему п уравнений
/({«}, Ы) = 0. (10.26)
Пользуясь дополнительным условием (10.10), записанным в виде
M = {«„}, (10.27)
*) Этот метод был предложен авторам профессором Броком (Техасский университет). 134
глава 10
сведем систему (10.26) к п уравнениям для параметров a0k- Этот подход к вариационной задаче можно интерпретировать как самосогласованный, поскольку его следует понимать как схему последовательных приближений.
Подставляя приближения (10.25) в лагранжиан (10.8), после интегрирования по частям и обращения в нуль граничных членов, получим п уравнений для а0и-
I чАКпАпты,]чм=~ 1 Vjv0n7J7^ = O. (10-28)
(6 = 1, 2.....п) ¦
Отсюда сразу видно, что п подынтегральных выражений имеют вид произведения ортогональной функции фь, удовлетворяющей граничным условиям, на соответствующее приближение левой части уравнения Фурье (10.11), решение которого мы ищем. Следовательно, при численном расчете самосогласованный метод сводится к хорошо известному методу Галеркина [87]. Следуя этому методу, надо в уравнение теплопроводности (10.11) подставить приближение я-го порядка (10.25) (опускаем индекс «0»), Тогда п коэффициентов аи определяются п условиями ортогональности:
J(V^)7Mf = 0-
Ясно, что система уравнений (10.28) идентична этим уравнениям.
Как будет показано в следующем разделе, вариационный самосогласованный метод позволяет доказать сходимость последовательных приближений. Это доказательство основано на том, что Ф(Г, T0) имеет минимум при T = T0 (10.16); оно является прямым следствием вариационных свойств локального потенциала, отсутствующего в методе Галеркина. Кроме того, локальный потенциал дает простую физическую интерпретацию метода Галеркина. Действительно, как мы-уже видели, уравнение (10.28) отражает тот факт, что наиболее вероятное решение совпадает со средним.
10.5. Сходимость самосогласованного метода
Рассмотрим величину Гй\ которая минимизирует локальный потенциал (10.7), когда класс пробных функций ограничен семейством (10.25), в котором Го"1 заменено его точным значением. После минимизации по параметрам аи и интегрирования по частям лолучим систему п уравнений:
J ФЛKt2J^iI1 aV = 0. - (10.29)
Последовательность минимумов локального потенциала, конечно, 8Є возрастает с увеличением я, так как каждое последующее се-мейотво содержит все функции из предыдущего. Таким образом, локальный потенциал
135
имеем неравенства
Ф(Г„ Г0)>Ф(Г2, Т0)...>Ф(Тп, То)...>Ф(Т0, T0). (10.30)
Для полной системы функций (J)ft можно найти такое п, для которого Ф (Tn, T0) будет сколь угодно близким приближением к точному минимуму Ф(Г0, T0), а именно
(10.31)
Zn-Tn1-T о1—>0 при П-> оо.
До сих пор мы интересовались свойствами еходимости классического метода Релея — Ритца в приложении к истинному потенциалу, и T0 в уравнении (10.29) фигурировало как параметр, не
