Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Xt
у— 2; T1 =300, X1=O; T2 = 500, = 1
P Точное решение Метод локального потенциала
0 8 • IO4 8- IO4
1. ю-4 7,386 • IO4 7,388 • IO4
1 ¦ IO"3 3,607- IO4 3,609- IO4
5- ю-3 15,915- IO2 15,936- IO2
1 • IO"2 37,53 37,75
6- IO"2 1,288- 10"13 3,866- IO-'3
1 • ю-1 - 1,75- Ю-26 4,37 • Ю-20
1 5,30- 10-261 265- Ю-261
10.6 Временные задачи
Рассмотрим лагранжиан (10.23) и предположим, что зависящее от времени решение T0(Xj,t) уравнения Фурье (10.24) можно разложить по полной системе функций {q>h(Xj, і) J всюду в объеме V и для всех значений t. Предположим также, что эти функции линейно независимы и каждая из них удовлетворяет граничным условиям при всех значениях времени t, Кроме того, допустим, что локальный потенциал
139
начальное условие при ^ = O можно аппроксимировать следующим образом:
п п
Tnx = S«АфА (*/. 0; Ton = SCtokfPk (X1, t). (10.50)
Эти соотношения будут использованы вместо (10.25).
Такую временную задачу также можно исследовать вариационным самосогласованным методом, используя дополнительные условия в виде (10.27). Для этого случая достаточное условие сходимости последовательных приближений (10.47) имеет вид [S8]
max ~ min , (ca)max ~ (Си)гЩп Я Т ^ „ /1АС1\
--7--1"-ГЖ—-TT <Л' (10,51'
Л0 min IMraax г 1
где
_ ^2 P0(^)max
.— 2 , • (10.52)
Ao min
Из классической линейной теории теплопроводности следует, что т — максимальное время релаксации. Неравенство (10.51) показывает, что при достаточно больших значениях т условие сходимости становится тождественным (10.47). Доказательство (10.51) близко к доказательству (10.46) или (10.47); подробности можно найти в статье [58].
10.7. Метод итераций
Вводя локальный потенциал, вместо самосогласованного метода можно использовать метод пробных функций в вариационном методе итераций. Например, для стационарной задачи теплопроводности, исходя из произвольной функции T0, удовлетворяющей граничным условиям, первое приближение для T вычисляется путем минимизации локального потенциала точно так же, как в методе Релея — Ритца. Затем полученный результат для T беретея за исходное распределение T0 и по нему вычисляется второе приближение и т. д. Критерии сходимости (10.46), (10.47) и (10.51), полученные выше для самосогласованного метода, могут быть доказаны и в данном случае независимо от выбора первой пробной функции [60]. Другой, несколько отличный от этого критерий был получен ранее Крускалом [97] для частного случая одномерной стационарной задачи теплопроводности.
10.8. Общий вид локального потенциала для стационарного состояния
Чтобы получить общее выражение для локального потенциала, возьмем полные уравнения баланса массы (1.28), импульса (1.30) и энергии (1.42) и обработаем их так же, как в случае уравнения теплопроводности (см. разд. 10.2). 140 глава 10
Сначала запишем уравнения баланса в компактном виде
^Pv = [Жу]; PdiVi = [?*]; dt (ре) = т. (10.53)
Умножим обе части этих равенств на -6(^7"1), — J-'oVj, 67_1 соответственно, сложим их и проинтегрируем по всему объему; тогда правая часть примет вид
J {- \Лу\ ЬЫУТ~1) - [Qi] Т~х 6V( + m бГ"1) dV. (10.54)
Исходя из этого выражения, построим локальный потенциал в виде функционала
Ф=\3?[Т, T0; цу, (xv0; vb v«J dV, (10.55)
который является обобщением (10.7) и должен удовлетворять основным условиям (10.14) — (10.16). Здесь опять Т, и Vt- — флуктуирующие переменные, тогда как Iq, |ivo, v»o — неизменяющиеся известные решения. Например, непосредственное обобщение функционала (10.18), т. е.
F (Т, T0-, Iiy, nyo-, vi, vi0)= J {-[Жу]о VyT-1-[фт~ 1Io vi + т-1} dV,
(10.56)
нельзя интерпретировать как локальный потенциал, связанный со стационарным состоянием, по той же причине, что и для (10.18). Экстремали (10.56) дают законы сохранения типа
.,5iIn = MfvIo=O; ^ = [^"40 = 0;
б(|IyT ') ov,
•^- = [^0 = 0. (10.57)
Однако условие (10.16) для абсолютного минимума не выполняется, так как из (10.56) следует, что
AF= J{- [JTvIo A ((IvJ-1M^-1Io Avi + 1&]о АГ-1} dV = 0. (10.58)
Чтобы получить подходящее выражение для локального потенциала, сначала в (10.54) проинтегрируем по частям члены, содержащие потоки Wj, pvaw- и pij-, это приводит к следующему выражению:
J j "_ Wj ЬТ-1 + 2 pvAv/6 [[IyT-1) + PilT01 6v/
+
+ WjbTri1- J PyAv/6GivJ-1) -PijT01 bvrj + локальный потенциал 141
+ ^ «,po (ApT"') - [(Pevj)7 + PiiVi4] бТ~[ +
' , р
+ s (pvvy)7 б (nyr"') + [(PVyVi7 - PFi + рч) To1 - PijTvW ov,} dV. ? (10.59)
Предположим для простоты, что
Первые три члена в (10.59) представляют поток через ограничивающую поверхность системы Й. Для фиксированных граничных значений Т, [xy и vi, как и для исчезающих на границах потоков, эти члены обращаются в нуль. Вторые три члена в (10.59) можно привести к полному дифференциалу, пользуясь обычными феноменологическими законами (законами Фурье, Фика, Ньютона):
Wi = XT2Tri1-, pYAY/= -^(^-%; pii = -2i\dij-, du=~(vi4 + vri). (10.60)
Здесь Dy — коэффициент диффузии компонента у, a т]— коэффициент вязкости. Как и в разд. 10.2, предположим, что феноменологические коэффициенты в (10.60) не изменяются, т. е.
