Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гленсдроф П. -> "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций" -> 52

Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.

Гленсдроф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций — М.: Мир, 1973. — 280 c.
Скачать (прямая ссылка): termodinamicheskayateoriyastrukturi1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 99 >> Следующая


XT2 = XJl', Dy = Dy 0; Tl = Tto. (10.61)

Коэффициенты при остальных членах в (10.59) также будут считаться неизменными. Тогда для фиксированных граничных условий или исчезающих на границе потоков получим локальный потенциал

ф ^ J ( 1 ^ (Г7Т + у S ?Yo K^"1).;]2 +

( У

¦ + v0~4+S "рДг-1 - [(p*v,)7+Vivio+

P

+ S [(PvVz)7IoOs7"') + [(pV/V,v - PFi + Рч) T- PiiT-J% Vi) dV. Y (10.62)

Это выражение является обобщением (10.17).

Чтобы показать, что функционал (10.62) удовлетворяет условиям, выведенным в разд. 10.2, (10.14) и (10.16), запишем соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа для экстремалей с учетом дополнительных условий (10.15):

T+ = T0, nY+=n?0; vt+=v4.0. (10.63) 142 ГЛАВА 10

Согласно (2.18) и (10.60), получим последовательно:

L »Ом-1) J

VY0' vIo

= [(Pvv/)'/]o + [(Pyay/)'/]o - S vypyVv = - Uv]o = 0; (10.64)

р

ГІГІ = К7" WJ0 + [PW - Pf' + P-') - ft/Tv1Io =

1 'j^1HvolVio

= V [Pin + PV1V1-I - pFib = - 771 mо = 0; (10.65) f-трН = - [(Pevr)7 + PijVi-j\ - [Wn]Q = ]S}0 = 0. (10.66)

LOi jrO'V'ViO

(Fyi = Fl)

Как и следовало ожидать, мы вновь получили стационарные уравнения баланса массы, импульса и энергии.

Остается вычислить ДФ, чтобы доказать, что условие (10.16) для строгого минимума также выполняется. Введем следующие обозначения:

9у = цуГ ' — HvO^o1; Ul=Vi — Vio,

6 = Г"1 -Г"1; Eij = Ciii-Ciii о (10.67)

и запишем (10.62) с помощью этих функций. Таким образом, получим

Ф = Ф0+ J Jy UTl (67)2 + 12 Dy0 Oy,/)2 + T1O T0lE2ii + + I0T20T01-Q4 + ^ DYo(nYr)o7.eY7 + 2^774/0"/',- -

Y

- [(pev/)., + Р</Vi7J0 е + Л (PvvZ)7O 6Y - S S ^poVYpMYeY +

Y PY

+ [(PVyVi7-PF/ +/7./)7--'-^^% И<} dV, (10.68)

а затем проинтегрируем по частям члены, содержащие градиенты 0Y- j, Ui1 и 67. После обращения в нуль граничных членов, получаем

ДФ = J ( j A0T20 (O7)2 + 12 Dy0 (Qy4)2 + T1J0lE2ij -I Y

- MfvJo eY - [QiT-iI0Ui-1- [ІПо е] dV. (10.69) локальный потенциал 143

Отсюда видно, что, согласно (10.64) — (10.66), линейная по отклонениям часть исчезает. Положение здесь такое же, как и в (10.12) для задачи теплопроводности, и условие минимума (10.16) удовлетворяется тождественно, так как

Дф = J J1X0TUQ-if + T S 0 (eV/)2 + } dV > (10-7°)

I V )

Уравнение (10.62) является общим выражением локального потенциала (10.55).

Конечно, возможны и другие формулировки, например с использованием множителей, определенных в (9.84) [58]. Кроме того, ради простоты, мы не интегрировали по частям тот член в (10.59), который соответствует химическим процессам. Это позволило нам избежать дополнительных выкладок, связанных с конкретизацией законов химической кинетики. Во всяком случае, метод от этого не меняется. Подчеркнем также, что отвлекаясь от физической интерпретации (10.21) как наиболее вероятного состояния, локальным потенциалом можно пользоваться просто как вариационной техникой безотносительно к нашему фундаментальному предположению о локальном равновесии. В связи с этим, как отмечалось в разд. 10.1, можно рассматривать не только линейные кинетические законы типа (10.60), но и такие, как в реологии (неньютоновы жидкости и пр.). Несколько задач такого типа было изучено Шех-тером [166]. С другой стороны, можно ожидать, что метод локального потенциала приложим не только в термо- и гидродинамике, но и в других областях. Такой пример, относящийся к кинетической теории газов, кратко изложен в разд. 10.11 [153], [124—126]. Однако прежде всего посмотрим, как метод локального потенциала можно обобщить на случай процессов, зависящих от времени.

10.9. Общая формулировка метода локального потенциала для временных процессов

Действовать будем точно так же, как в разд. 10.3. Подынтегральное выражение

S(T, T0-, m-y, цу,; v1-, vio)

в (10.55), вычисленное точно в (10.62), заменим новым лагранжианом

L (Т, T0; Hv, цу0; Vb Vio) = S + ИуГ^р^ + угр0Г-1д*у/0 — T~ldt (ре)0.

(10.71)

На этот раз индекс «0» относится к величинам, зависящим как от координат X, так и от времени t. Сразу получаем, что функционалом

W = Jl(7\ T0; Hy, hy0; V/, vi0) dV (10,72) 144

глава 10

задается общий вид локального потенциала для временных процессов при условии, что на границе заданы значения Т, ^y, v1 (все равно, зависящие от времени или нет) или нулевые потоки (для всех t). Действительно, с учетом дополнительных условий (10.63) уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала xF1 согласно (10.64) — (10.66), принимают вид

6lJ =-UY]o+o,pYo = 0; (10.73)

; jJVNo-1

1 (м^т"

6 L

ov;

6 L

7V V vio

67--1

= -^^0 +Po^tVlo=O; ¦ (10.74) [П - U (pe)o = 0. (10.75)

rO- <V vi°

Сравнение этих уравнений с уравнениями (10.53) показывает, что полученные таким путем экстремали в действительности являются уравнениями баланса массы, импульса и энергии для общего случая с зависимостью от времени. Кроме того, условие строгого минимума

A1F > 0 (10.76)

тоже выполняется. Добавочные временные члены в (10.71) взаимно уничтожаются с линейной частью по отклонениям. Учитывая (10.70), получаем
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 99 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed