Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
*) См. книгу Чандрасекара [28] (гл. II, разд. 19 и библиографические замечания). На стр. 73 этой книги даны ссылки на более ранние работы по термической неустойчивости Джеффриса h Маркуса. Следует также отметить, что именно прекрасная работа Чандрасекара [27] позволила авторам включить в обобщенную неравновесную термодинамику гидродинамические процессы. проблема устойчивости покоящейся жидкости 155
мы примем, что
е2 = г+~'г2, T2 = T (? = z'), (11.30)
где T+ — положительная постоянная, имеющая размерность температуры, величина которой будет выбрана позднее в (11.32). Соответствующие условия устойчивости будут слегка отличны от (7.94), так как последние были получены при
є2 = t2=i.
Исходя из приближения Буссинеска и учитывая несжимаемость жидкости, получим неравенство [ср. с (11.26) и (11.28); см. также (7.57)]
P[6Z'] = J [АГ+"' (О-/)2 + T1 (Ui4)2 - (?pcor+_I + pga) Qw] dV > 0.
(11.31)
В правой части (11.31) есть диссипативные члены, связанные с термодинамическими потоками и силами, и два члена, возникающие от флуктуаций скорости, которые входят в (11.26) и (11.28). Пусть величина T+ равна
T+ = ^t-, (11.32)
тогда последние два члена в (11.31) объединяются в один. Далее, введем безразмерное число Релея
Яа = ^$> 0; (11.33)
характеризующее масштаб градиента ?. Теперь полное условие устойчивости (11.31) примет вид
P[oZ'] = j p[№)_I-^-^(0v)2+ v(ut4y-2guQw] dV > 0. (11.34)
Правая часть (11.34) может рассматриваться как приращение функции
.T = Jp [№)-' (г,.)2 + V (V/)2 - 2gct7vJ dV. (11.35)
Это приращение между возмущенным состоянием и состоянием покоя. Для доказательства разложим (11.35) по величинам 0, Uu полагая
Г = Го + 0; у, —0 + и/ (11.36)
(где Г0 — температура невозмущенного состояния) и учитывая, что средние <0> и <иг> исчезают. После усреднения в плоскости X, у получим для этого разложения равенство
<Г) = (^0) + (^[бГ]>. (11.37) 156
глава 10
Кроме того, вычисляя (11.35) для состояния покоя, найдем
(T0) =^ ^a. (11.38)
Таким образом, условие устойчивости (11.31) для состояния покоя можно интерпретировать как условие минимума для функции Мы еще вернемся к этому вопросу в разд. 11.6, а теперь отметим, что вблизи состояния термодинамического равновесия, т. .е. когда 91а —*• 0, имеем в то. время как (#")-»- + оо и
(P[bZ'\) + 00 для всех возмущенных состояний. Схематически это представлено на рис. 11.1.
<Т>
Прямая <<У0> соответствует состоянию покоя. Кривые 1—4 относятся к нормальным модам в плоскости X, //; их пунктирные части находятся в области неустойчивости, т. е. в области <P [бZ']> < 0 или (Pm [б/']) < 0 для комплексных мод (см. разд. 11.2). Возникновению конвективной неустойчивости отвечает критическое число Релея <Aa)c=(Aa)j
Для нормальных мод типа кривой 4 приращение (#"4) — (@~о), т. е. (Pi[bZ'\), всегда положительно. Следовательно, по отношению к таким возмущениям система всегда устойчива. Однако для случаев, изображенных на рисунке кривыми 2 и 3, неустойчивость наступает соответственно за (Sia)2 и (Яа)3. Наименьшее ЧИСЛО с таким свойством называется критическим числом Релея: (Vfla)c = = (91а) і. Точка Бенара, т. е. начало неустойчивости, достигается при (91а) і = (Яа) с. Неустойчивость возникает, когда исчезает (P[6Z^). Функция принимает тогда одно и то же значение, как в состоянии покоя, так и в возмущенном состоянии с нормальной модой [см. (11.37)]. Таким образом, неустойчивости соответствует вырождение Мы имеем здесь поразительную аналогию с фазовым переходом; к ней мы еще вернемся в разд. 11.5. проблема устойчивости покоящейся жидкости
157
Важно отметить также, что для всех флуктуаций, ведущих к неустойчивости, функция получаемая из (11.35), является
разностью двух положительных величин:
(<F) = (Диссипативные эффекты) — (Конвективные эффекты).
(11.39)
Иначе говоря, устойчивость возникает как результат конкуренции двух противоположных тенденций: стабилизирующих диссипатив-ных эффектов и дестабилизирующих конвективных эффектов. Наличие конкуренции — общее характерное свойство всех задач, связанных с возникновением неустойчивости. Это вполне согласуется с нашими представлениями, изложенными в разд. 7.6.
Неравенство (11.34) показывает, что в области малых чисел Релея преобладают диссипативные эффекты, порождаемые температурными флуктуациями, и что по мере увеличения числа Релея возрастает роль флуктуаций скорости.
11.5. Термодинамическая интерпретация и диссипативная
структура
В разд. 11.2 мы считали постоянными такие феноменологические коэффициенты, как вязкость и теплопроводность. Отсюда следует, что к состоянию покоя ниже критического значения числа Релея (рис. 11.1) применима линейная неравновесная термодинамика, в частности теорема о минимуме производства энтропии (разд. 3.4 и 7.9). Когда мы достигаем предельного состояния, производство энтропии резко изменяется с возникновением первой неустойчивой нормальной моды (разд. 11.10). Возникновение этой моды приводит к тому, что наклон кривой производства энтропии (^[S]) в критической точке претерпевает разрыв (рис. 11.2), и это неудивительно, поскольку в критической точке возникает новый механизм вязкой диссипации, порождаемой конвекцией. Сама величина (P[S]) не претерпевает разрыва, поскольку амплитуда критической нормальной моды в предельном состоянии остается бесконечно малой. Чтобы получить конечную амплитуду, следует рассмотреть значения Яа, несколько превышающие (Яа) с. При значениях превышающих (Яа)с, линейная термодинамика необратимых процессов более не применима к описанию системы. Появляется новая взаимосвязь, благодаря которой температурный градиент порождает конвективный поток. Эта связь, не содержащаяся в феноменологических законах, возникает из стационарных Уравнений для возмущений (разд. 3.3).
