Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
В предельном состоянии существуют как диффузия, описываемая (11.99), так и гидродинамическая конвекция. Схематически полная картина возникновения неустойчивости показана на рис. 11.4, где приведена зависимость числа Релея 91а от отношения D'/D. На кривых / и 2 локализованы критические состояния, а область устойчивости находится между этими кривыми [167]. В зависимости от того, нагреваем ли мы жидкость снизу или сверху, будем иметь соответственно 91а > 0 или 91а < 0. Далее, в зависимости от того, мигрирует ли более плотная компонента к холодной или горячей границе, будем иметь соответственно (D'/D) > 0 или (/>70) < 0. Как следует из (11.96), при 91а > 0 и 172
глава 10
(D'/D) > О плотность жидкости возрастает снизу вверх (р-г > 0). Если же 91а <; 0 и D'/D •< 0, то плотность жидкости убывает снизу вверх (piZ < 0) при достаточно малых величинах D'/D, не показанных на рис. 11.4. Неустойчивость может возникать в областях I и III, но не в областях II и IV. Это совершенно естественно. Например, в области II (где 91а > 0, D'/D < 0 и D'/D достаточно велико по абсолютной величине) термодиффузия подавляет термическое расширение и слой жидкости остается устойчивым. В секторе I (где D'ID > 0) термодиффузия дестабилизирует систему, поэтому
(91 о) B-sC (9?а) А,- При ЭТОМ часто важна скорость изменения.
В точке С сектора III ситуация довольно неожиданная: несмотря на то, что плотность уменьшается при переходе снизу вверх, система неустойчива. Этот пример показывает, что простая механическая интерпретация возникновения неустойчивости, данная нами в разд. 11.3, здесь неприменима. Теперь в (11.98) третий член дестабилизирующий (отрицательный), тогда как первые два—стабилизирующие (положительные). Неустойчивость является следствием того, что производство энергии выталкивающими силами, возникающими из-за концентрационных градиентов, превалирует над диссипацией энергии в двух первых эффектах. В результате появляется свободная конвекция. Однако возникающее при этом ячеечное движение совершенно отлично от того, которое наблюдается в однокомпонентной проблеме Бенара (подробно этот вопрос рассмотрен в работе [167]).
Работа Шехтера, Хэмма и Пригожина [167], краткое содержание которой было приведено выше, основана на применении принципа смены устойчивости (разд. 11.7). JTerpy и Платтен [110] к дву-компонентной проблеме Бенара применили метод локального потенциала с учетом комплексных частот (ссц ± 0) (ср. гл. 12). Качественные выводы этого исследования согласуются с расчетами Шехтера, Хэмма и Пригожина.
В последнее время проблема термодиффузии и устойчивости бинарных смесей привлекает все большее внимание в связи с ее применением в океанографии [82, 187, 188, 191, 192].
Sfe
Рис. 11.4. Схематическое изображение областей устойчивости для двукомпонент-
ной задачи Бенара. 1 и 2 — кривые предельной устойчивости; А — критическое число Релея для однокомпонентной жидкости; В — число Релея для слоя, нагреваемого снизу. Термодиффузия усиливает обратный температурный перепад (5??z>b < (Яа)д; С—число Релея для слоя, нагреваемого сверху. Более плотная компонента мигрирует вверх. проблема устойчивости покоящейся жидкости
173
11.12. Устойчивость вертикального столба жидкости
В проблеме Бенара диссипативные процессы играют существенную роль. Представляет интерес также противоположный случай идеальной жидкости, когда по определению все диссипативные процессы отсутствуют, и поэтому производство энтропии (2.21) обращается в нуль тождественно. Как отмечалось в разд. 2.2, фундаментальное предположение о локальном равновесии справедливо для идеальной жидкости, и проблема устойчивости сохраняет свое значение.
В качестве примера мы рассмотрим классическую задачу об устойчивости вертикального столба жидкости. Эту задачу можно считать введением в более сложную проблему устойчивости волн в идеальной жидкости (гл. 13).
Уравнение движения (1.29) принимает в этом случае простую форму, известную как уравнение Эйлера:
P(^v1-H-VyVi7) = P F1-P4, (11.100)
а уравнение баланса энтропии (2.19) сводится к уравнению
dt (ps)+ [PSViIl = O, (11.101)
что равносильно, если использовать (1.17), соотношению
ds = 0. (11.102)
Рассмотрим теперь покоящуюся жидкость в однородном гравитационном поле и выберем направление z за вертикаль. Тогда уравнение Эйлера (11.100) принимает вид
P = -JP-Z- (ПЮЗ)
Предположим, что в жидкости установилось стационарное распределение температуры T(z), тогда, считая известным уравнение состояния, имеем
P = P(Z); p = p(z), T = T(Z), (11.104)
где р(z)—убывающая функция, удовлетворяющая уравнению (11.103). Исследуем устойчивость такого стационарного состояния.
Допустим, что возникла малая флуктуация скорости w в вертикальном направлении. Тогда некоторый элемент объема жидкости получит смещение 6z. Поскольку движение адиабатическое, этот элемент объема жидкости переносит соответствующую ему энтропию. С другой стороны, давление в этом элементе стремится к гидростатическому давлению на новом , уровне z -j- bz, следовательно *):
