Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Используя систему отсчета, в которой 0^2^1 (рис. 12,2, а), мы можем для основного потока D в направлении х записать
U = U++(z-z% (12.47)
где U++ равно учетверенной максимальной скорости потока Пуазейля при Z= 1/2 [или 8?/+, где U+ введена в (12.2)]. Число Рейнольдса в выражении (12.26) равно восьмикратному числу Рейнольдса, использованному в разд. 12.5. Чтобы избежать путаницы, ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛОКАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА
189
введем новые обозначения:
(Me)' = Ше (Me)' = SMe.
(12.48)
(12.49)
Применяя к этой задаче метод локального потенциала, можно легко получить дисперсионное уравнение (подробно см. в работе [136])
,630 2а . а2 ——I- 630 ~ 4 5а2
105а2 1 105
X / а? г I °2
V 30 1 3 1 30
Ia(Ste)' , і (Sle)'
2772 1 630а іа&г (Sle)' \_
)х
140 ) — (140)2
(12.50)
Принцип смены устойчивости был установлен нами только для простейшей задачи Бенара (разд. 11.7), поэтому здесь нельзя считать о действительной величиной. Выделим из уравнения (12.50) действительную и мнимую части. Так как в предельном состоянии нейтральной устойчивости ог исчезает в обоих уравнениях, из них можно исключить о,; в результате получим уравнение кривой нейтральной устойчивости [136]
^r 105 5а2 / \ 3 ' 30 /
2 \ „1 Г а (Ste)'
\630
-[-
2772
Ш'
630а
.630
105а2
і
140 = Ma
Таблица 12.6
(140)2
(12.51)
5°г = 7
(Xt)'= 8
іЯа).
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 000
2 D00
3 000
4 000
5 000
3,12 3,27
4.04 5,20
6.05 6,68 7,19 7,60 7,95 8,25 8,51 9,90
10,41 10,64 10,76
1750
2 190
3 401
4 895
6 320
7 620
8 792
9 843
10 784 11626 12 378 16 725
18 368
19 109 19 494 190
ГЛАВА 10
где
п \ 630 т 105 ^ 5а21 140 т \ 2772 ^ 630а Д 3 ^ 30 )/ав мо соч
С= / а2 4 4 \ ^ / 1 2 Wl (12-52)
\ 630 + 105 + 5а2 J 30 + \ 630 + 105а2 J [ 3 30 /
По кривой нейтральной устойчивости можно определить минимум (Ma)с и связанное с ним значение (а)с как функции чисел Рейнольдса и Прандтля. Зависимости (Ma)0 и (а)с от Me и ZPb приведены в табл. 12.6 и 12.7 и на рис. 12.4.
(Sia)c
15-Ю4
IO4
S-IOz
_I_I_|_ №Л'
О IO3 2-Ю3 3-ю3
Рис. 12.4. Зависимость критического числа Релея от числа Рейнольдса для различных значений числа Прандтля.
Критическое число Релея увеличивается с увеличением числа Рейнольдса. Следовательно, область устойчивости решения, соответствующего состоянию покоя, расширяется, если имеется медленное горизонтальное течение жидкости. Иначе говоря, поток Пуа-
Таблица 12.7
= 0,7
(Sit)' = SSte «с (Sfc)c
0 3 12 1750
100 3,24 1917
200 3,61 2374
300 4,15 3004
400 4,69 3698 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛОКАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА
191
зейля имеет тенденцию разрушать ячейки Бенара и стабилизировать температурное распределение, характерное для покоящейся жидкости. Поэтому уменьшается критическое волновое число, а следовательно, и размер ячеек Бенара. Этот эффект очень важен, поскольку, как видно из рис 12.4, он возникает в области вполне реальных значений числа Прандтля (для воды ^4 = 6,75). Предварительные эксперименты, выполненные Легру, Платтеном и др. [110], подтвердили эти теоретические выводы.
12.8. Влияние поперечного температурного градиента на турбулентность
Эта проблема решается теми же методами и с помощью того же полного выражения для избыточного локального потенциала (12.26). Основное отличие состоит в том, что здесь число Релея отрицательно (нагревание сверху). В противоположность случаю разд. 12.7 мы должны теперь в рядах (12.45), (12.46) сохранить большое число членов.
В результате последующих очевидных действий мы приходим к задаче на собственные значения для матрицы 2п X 2п. Если отсутствуют температурные возмущения, эта задача сводится к системе (12.36) — (12.38). Здесь мы не будем вдаваться в детали (подробнее см. в работе Платтена [136]). Отметим только, что при числах Релея, не превосходящих по модулю 20-IO3, критическое число Рейнольдса изменяется не более, чем на 200. Для очень больших отрицательных чисел Релея, например для \Sla\ = IO11, было найдено, что 16 000 < (Sie) с < 20 000. Этот результат согласуется с данными Гейжа и Рида [19], которые указали на стабилизирующий эффект поперечного градиента температуры при нагревании сверху. К сожалению, точность вычислений низка. Ошибки связаны не только с несамосопряженным характером задачи, но и с вычислениями матриц высокого порядка. В большинстве машинных экспериментов, проводимых для Sla ~ IO10, детерминанты матриц могут достигать IO100.
Как уже отмечалось в разд. 10.12, метод локального потенциала не является единственным. Имеются и другие методы вычисления предельных состояний ламинарного потока, например ко-нечно-разностный метод Томаса, которым он пользовался еще в 1952 г. Вариационная техника для несамосопряженных задач также была разработана независимо от метода локального потенциала [105]. Результаты всех перечисленных методов удовлетворительно согласуются друг с другом. Упомянем еще вариационный метод, введенный Николем и основанный на теории Малкуса [117, 118, 130]. По мнению авторов данной книги, ценность метода локального потенциала состоит в его широте и общности (разд. 10.12).
