Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
О... ео^-О=0 (12'27)
или
(D2 — а2 — oMi) 0 = — W (12.28)
и, с другой стороны,
(ir) =° (12-29)
\ ow /о, в»; Яе=0
ИЛИ
(D2 - а2) (D2 —a2 —a) W = Maa2Q. (12.30)
Уравнения (12.28) и (12.30) —не что иное, как уравнения баланса энергии и импульса (11.79) и (11.78) для задачи Бенара, записанные в новых переменных.
2) В отсутствие температурного градиента (Ma = 0) и температурных возмущений (0 = 0) можно получить при дополнительном условии W0 = W+ уравнение Эйлера — Лагранжа
(w) =0 (12.31)
\ OW z1j7o1 jia-o
или
(D2 - a2)2 W = iaMe [(?7 + (D2 -a2) W- (D2U) w]. (12.32)
Чтобы вернуться к обозначениям разд. 12.2 и 12.3, нужно записать соотношение (12.10) в новых переменных:
a = —iaMec. (12.33)
Тогда уравнение (12.32) совпадет с уравнением Oppa — Зоммер-фельда (12.11). Также, умножая (11.26) на а2, полагая затем применение метода локального потенциала
183
0 = 0 и используя еще раз соотношение (12.33), мы приведем избыточный локальный потенциал vF к виду +і
ф=| J [a4 + ItfSU Ф - с)] [W°W + (DW0) (DW)\ + -і
«
+ -J- (DW)2 - -J (D2W)2 + 2 (D2Wfi) (D2W) -
— іаЯе (DO)(DW)WU} dl. (12.34)
Этот локальный потенциал может быть применен к изучению гидродинамической устойчивости, рассматриваемой в разд. 12.2 и 12.3.
Чтобы не возникало недоразумений, мы специально обозначили через I координату z в системе координат Линя [114] (рис. 12.2,6).
Следует иметь в виду, что общее выражение (12.26) для избыточного локального потенциала, позволяющее исследовать устойчивость потока с поперечным градиентом температуры, зависит только от двух неизвестных функций W и ©. Ниже мы рассмотрим три примера применения этого вариационного принципа: в первом — положим Яа = О (отыскание критического числа Рейнольд-са), во втором — положим Яе = О (отыскание критического числа Релея), а в третьем — рассмотрим смешанный случай.
12.5. Определение критического числа Рейнольдса для плоского течения Пуазейля
Мы применим вариационную технику последовательных приближений, развитую в гл. 10. Следуя этому методу, подставим в выражение (12.34) пробные функции
Wn = а,Фі + ... + аА, = а\Ф, + ...'+ (12.35)
в которых все фй удовлетворяют граничным условиям. Минимизируем полученное выражение по и потребуем выполнения дополнительных условий ak = a\ [ср., например, с (10.25) — (10.27)]. Получающаяся в результате система п линейных однородных уравнений относительно аи имеет нетривиальное решение только, когда достигается состояние нейтральной устойчивости. Детерминант, составленный из коэффициентов системы п уравнений, в этом случае должен обращаться в нуль [105, 106]:
DetMw-CfiwI=O (k, I= 1, 2, ..., п), (12.36)
где
Au = If] + 2а Iki + U4Ifl + іаЯе (/?1 + Jkl + а2/17).
Вы = Ше (/$ + a Ifi) (12.37) 184
глава 10
И
+1 /й= JqvMI; -1 '0 = +і J ^ФдФ,^; -і
+1 -і 'її = +і \{D2U)yk%dl\ -і
-і +і - J Ucpk(D2b) dl-, -і
Dn = dnldln. (12.38)
В системе отсчета, используемой Линем (рис. 12.2,6), основной поток имеет вид
І7=1-|2. (12.39)
В качестве пробных функций мы возьмем ряд, предложенный Рейнольдсом и Ли [105, 106],
Ф* = (1-?2)2?2 <*"'>. (12.40)
Эти функции удовлетворяют заданным граничным условиям, а интегралы (12.38) легко вычисляются. Задача о собственных значениях для с, соответствующая уравнениям (12.36) и (12.37), была решена численно на ЭВМ для 450 значений а и Me в работе [136]. Этой информации достаточно, чтобы определить с высокой точностью область устойчивых (Ci < 0) и область неустойчивых состояний (сі >> 0) на плоскости a, Me. Для каждой точки (a, Me) была исследована сходимость полученных значений основной частоты вплоть до матрицы порядка 20 X 20. Оказалось, что сходимость метода вполне удовлетворительна при малой величине произведения a Me, но с его увеличением она ухудшается. Вблизи критической точки, т. е. при малых Ci (рис. 12.3), численные погрешности для Ci становятся того же порядка, что и сами Ci. Однако при очень больших величинах aMe (например, при aMe >50 000) метод неприменим в связи с потерей точности в этой области.
Как показано на рис. 12.3, кривая нейтральной устойчивости вычисленная этим методом, окружена областью, соответствующей пределу точности, которую можно получить методом локального потенциала. Платтен [136] утверждает, что снижение точности вычислений при больших величинах произведения aMe связано, по-видимому, с несамосопряженным характером уравнения Oppa — Зоммерфельда (12.10), а не с погрешностями численного метода. Фактически Платтен отметил, что несамосопряженный вклад уравнения Oppa — Зоммерфельда описывается величиной iaMeUD2W, роль которой возрастает с ростом аМе. В связи с этим следует подчеркнуть, что сходимость, изучавшаяся в разд. 10.5, для неса- применение метода локального потенциала
185
мосопряженных задач была доказана лишь для состояний, не слишком удаленных от равновесия.
Кроме того, те же вычисления, проводимые для частных случаев, когда уравнение Oppa — Зоммерфельда становится самосопряженным (например, в случае одномерного потока, когда О = const) приводит к равномерной сходимости. Дело в том, что при О = const спектр собственных значений может быть вычислен точно и затем сравнен с результатами приближенных вычислений. Во всех таких случаях Платтен получил превосходное согласие с точными результатами.
