Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
XV
(12.1)
где ДГ —разность температур между нижней и верхней границами. В зависимости от знака AT (рис. 12.1) число Релея может быть положительно или отрицательно; h — расстояние между пластинами. применение метода локального потенциала
177
Число Рейнольдса определяется соотношением
(12.2)
где U+ — некоторая характерная скорость, выбираемая обычно равной половине максимальной скорости в пуазейлевском потоке
(рис. 12.1,0).
В разд. 12.3 будет выведено общее выражение для избыточного локального потенциала, позволяющее рассмотреть, в частности, два предельных случая. Первый случай, когда Яе = 0, соответствует проблеме Бенара (гл. 11). Второй случай, когда Я а = 0, соответствует переходу от ламинарного к турбулентному течению в потоке постоянной температуры. В разд. 7.3 было показано (в связи с теоремой Гельмгольца), что предположение о постоянстве температуры допустимо при достаточно медленном потоке, так как в этом случае диссипативные члены, входящие в уравнение баланса энергии (1.42), имеют второй порядок малости и ими можно пренебречь. Мы будем считать это допущение справедливым для всей области ламинарных потоков, вплоть до начала турбулентности. Это также означает, что в задачах с Я а Ф 0 мы считаем, что поперечный градиент температуры остается постоянным, т. е. таким, как и в покоящейся жидкости (вязкость V и теплопроводность X постоянны). Распределение скоростей и температур в основном потоке показано на рис. 12.1.
Мы начнем с изучения потока при постоянной температуре (разд. 12.2); более подробно см. монографию [114]. Влияние поперечного температурного градиента изучено в разд. 12.4; в разд. 12.5—12.8 содержатся численные результаты и их обсуждение.
Для простоты ограничимся рассмотрением возмущений в двух измерениях вдоль осей X и г (рис. 12.1), поскольку задача о возмущениях в трех измерениях довольно просто связана с двумерной задачей [114, 173], по крайней мере для потоков с постоянной температурой [114, 173].
Начнем с линеаризованных уравнений баланса для приращений массы и импульса, полученных из уравнений (7.50) и (7.51) для несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил. В безразмерной форме эти уравнения имеют вид
Здесь Ui И S — приведенные величины возмущений ovj и бр\ Oj — приведенная скорость основного потока. Заметим, что для записи
12.2. Задача на собственные значения для гидродинамической устойчивости
dtui = - UiUri - UlUrj - S7 + ОЯ-Г' («17)7.
(12.3)
(12.4) 178 ГЛАВА 10
уравнений в безразмерной форме можно использовать различные масштабы скорости, длины, времени и давления соответственно. Чаще всего пользуются масштабами
U+ = UmJ2; h; h(U+)~l-, р(U+)2 (рис. 12.2,o)
или
U+ = Vmax; /г/2; ±h(U+)~\ р<?/+)2 (рис. 12.2,6)
Первый ряд масштабов был использован в гл. 11 в проблеме Бенара. Второй ряд масштабов использовался Линем [114]. Ниже мы приведем еще и третий ряд масштабов [см. (12.17) при 8 = 0].
Z Z
Рис. 12.2. Системы координат для определения безразмерных величин (см. текст).
Пусть и и W представляют соответственно х- и z-компоненты произвольного возмущения Ui*). Поскольку такое возмущение должно быть периодическим по X, лежащему в бесконечных пределах, мы имеем для одной фурье-компоненты
u = U (z)eia(x~ct\
w = W (z)eiai-x~ct\ (12.5)
S = II (z)e<a
где а — действительное волновое число; U(z), W{z) и П(z) —безразмерные комплексные функции.
В случае плоского течения Пуазейля
O , = Hx = U(Z); Uy = Uz = 0. (12.6)
Тогда уравнения баланса (12.3) и (12.4) принимают вид
iaU + DW = 0, (12.7)
[D2-O2 — iaUe (U — с)] U = Me(DU)W + taSZ.II, (12.8)
[D2-a2-iaMe(U -c)]W = MeDll (D = dl dz). (12.9)
Величина с — собственное значение, в общем случае комплексное; (если ее мнимая часть отрицательна, она описывает затухание флук-
*) Напомним, что г — безразмерная переменная. применение метода локального потенциала
179
туаций). Величина с и приведенная частота а, определенная в (11.77), связаны соотношением
а =-тс. (12.10)
Исключая U и П из уравнений (12.7) — (12.9), получим уравнение для W _ _
(D2 — a2)2 W = ia&e [(U — с) (D2 — a2) W — (D2U) W], (12.11)
и граничные условия
W = DW = O (при г = z„ z = z2). .(12.12)
Уравнение (12.11) —хорошо известное уравнение Oppa — Зоммер-фельда [114]. Дополненное граничными условиями (12.12), оно определяет задачу на собственные значения, подобную той, которая возникает из уравнений (11.82) и (11.83) для задачи Бенара. Рассмотрим предельное состояние, в котором мнимая часть Ci числа с исчезает. Тогда при_фиксированном волновом числе а, отличные от нуля решения задачи (12.11), удовлетворяющие условиям (12.12), появляются лишь при некоторых специальных значениях Яе.
Иногда удобнее решать эту задачу иным способом [114, 136]. По заданным действительным значениям а и Sle определяют собственное значение с. Если Ci положительно, поток в рамках линейной теории неустойчив; если же Ci отрицательно, возмущение затухает и поток устойчив.
Условие Ci = 0 определяет зависимость между а и Ше, которая изображается на плоскости (а, Яе) и называется обычно кривой нейтральной устойчивости (см. рис. 12.3). Наименьшее значение числа Рейнольдса, которое вместе с а может еще обращать Ci в нуль, называется критическим числом Рейнольдса.
