Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
а
Рис. 12.3. а — область устойчивости; б — область неустойчивости; в — нейтральная устойчивость; г — неопределенная область, связанная с погрешностями
численных расчетов.
Для иллюстрации метода мы приведем ниже результаты расчетов для а = 1 и различных значений Же. При Же — 100 (табл. 12.1) имеется превосходная сходимость к предельному значению Ci = = —0,1629. Так как получившееся Ci отрицательно, поток при этом волновом числе устойчив. Колебания в последних знаках связаны с ошибками вычислений на ЭВМ. При Же = 2500 (табл. 12.2) поток остается устойчивым для а = 1 (Ci <С 0), но сходимость гораздо хуже, чем в предыдущем случае. При Же = 5900 (табл. 12.3) Ci изменяет знак от приближения к приближению. Это значит, что мы оказались вблизи критического значения Же. Действительно, при больших числах Же Ci становится положительным и появляется неустойчивость (табл. 12.4).
Вычисления, проведенные Платтеном для 450 точек в плоскости а, Же, позволили ему установить значение критического числа Рей-нольдса с точностью ±150:
5600 < {Же)й < 5900.
(12.41) Таблица 12.1
а = 1, діє = 100
tl (приближение) cI п (приближение) cI
2 —0,172161 12 —0,162942
3 —0,164498 13 —0,162915
4 —0,162195 14 —0,162957
5 —0,162967 15 —0,162944
6 —0,162946 16 -0,162950
7 —0,162944 17 —0,162962
8 —0,162944 18 —0,162947
9 —0,162944 19 —0,162944
10 —0,162944 20 —0,162942
11 -0,162945
Таблица 12.2
а = 1, Я.е = 2500
п (приближение) cI п (приближение; cI
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -0,011960 -0,040551 +0,008418 —0,000085 -0,017376 -0,011408 -0,015762 -0,013779 —0,014613 —0,012342 12 13 14 15 16 17 18 19 20 -0,012464 —0,017830 -0,014178 -0,020270 —0,005494 -0,015388 -0,013269 -0,014132 —0,014132
а = 1, = 5900 Таблица 12.3
п (приближение) cI п (приближение) cI
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 —0,005068 —0,017068 +0,020529 +0,024528 +0,001250 —0,000029 +0,002102 —0,001550 +0,000774 +0,004750 12 13 14 15 16 17 18 19 20 +0,000475 +0,000073 -0,001761 —0,002231 +0,001458 +0,004265 +0,000719 -0,000175 +0,000229 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛОКАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА 187
Таблица 12.4
а = 1, Яе = 8000
п (приближение) cI п (приближение) Ч
2 —0,003737 12 -0,001712
3 -0,012580 13 —0,002749
4 +0,022941 14 +0,004114
5 +0,029698 15 +0,001853
6 +0,020298 16 +0,002457
7 +0,006242 17 +0,003975
8 +0,004185 18 +0,002177
9 +0,002306 19 +0,003267
10 +0,002263 20 +0,002704
11 +0,002065
Этот результат хорошо согласуется со значением (Me)c = 5780, полученным Томасом и Линем [176].
12.6. Критическое число Релея для проблемы Бенара
Рассмотрим случай, когда в выражении (12.26) Me a D исчезают и Ma > 0. Как и в гл. 11, будем использовать систему координат, принятую на рис. 12.2, а. Выберем граничные условия, отвечающие твердым поверхностям [ср. с (11.11) и (11.12)]:
DlF = r = 0] f 2 = 0
0=о } "Ри Ь = 1. (12-42)
Будем строить пробные функции для W и 0 из следующих функций:
щ = (1-г)2 Z2 (2г-1)2{к-\ (12.43)
% = (1-2) 2 (2г -If-1. (12.44)
Эти функции удовлетворяют граничным условиям (12.42) тождественно. Как и в (12.35), пробные функции Wn и 0„ порядка п имеют вид
Wn = (Itfi + ... +a„q>„, (12.45)
Ort = ^1 + ... +MV (12.46)
Аналогичны выражения для W0n и
Все дальнейшие операции проводим, как и в разд. 12.6. Но теперь мы получаем равномерную сходимость собственных значений а (пример приведен в табл. 12.5). Этот результат не удивителен, так как уравнения (12.28) и (12.30) для задачи Бенара являются самосопряженными. По той же причине возникающий локальный потенциал сводится к истинному потенциалу 188
ГЛАВА 10
Таблица 12.5
С минимальна при а =«3,117
о < 0; решение устойчиво а > 0: решение неустойчиво
га (прибли- ' жение) Sia= 1000 Sla= 1700 Яа= 1710
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 —1,15692088 —1,15605572 -1,11377581 -1,11377581 -1,11377517 -1,11377517 —1;11377515 —1,11377515 —1,11377515 -1,11377514 —0,0756 60939 —0,073235449 —0,013082648 —0,013082643 —0,011895156 —0,011895156 —0,011894804 —0,011894804 —0,011894804 -0,011894792 —0,060019552 —0,058178305 +0,002232301 +0,002232306 +0,003428226 +0,003428226 +0,003428587 +0,003428587 +0,003428587 +0,003428599
(разд. 11.10), и вариационный метод становится идентичен хорошо известному методу Релея — Ритца.
Шехтер и Химмельблау [164] нашли в «одночленном» приближении (Ma)с = 1750, тогда как метод безусловного минимума (гл. 11) дал при том же приближении (Ma)c= 1822. В «трехчленном» приближении из табл. 12.5 (Ma)c = 1710, что очень близко к точному значению, полученному Чандрасекаром [28].
12.7. Проблема Бенара для ламинарного потока
Для решения этой задачи необходимо полное выражение для избыточного локального потенциала (12.26) с положительным числом Релея^нагревание снизу). Мы хотим исследовать, как влияет медленное течение Пуазейля на образование ячеек Бенара. По-видимому, одночленное приближение будет достаточным для того, чтобы выявить влияние числа Рейнольдса на критическое значение (Ma)c. Однако следует помнить, что локальный потенциал (12.26) был записан только для двумерных возмущений и что связь с трехмерной задачей уже не следует из теоремы Сквайра (упомянутой в разд. 12.1), поскольку теперь в потоке имеется температурный градиент.
