Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
___бр = 0 (11.105)
*) Мы пренебрегаем здесь звуковыми волнами, возникающими от возмущений покоящейся жидкости. 174 глава 10
И
бр = --^6, = (IL)p6s. (11.106)
Соотношения между бр и флуктуацией скорости w дается уравнением Эйлера (11.100), т. е.
dtw=-gv6p = 9g 6s. (11.107)
Поскольку энтропия при движении элемента остается постоянной, при любом знаке 6z имеем
6s = -s,z6z. (11.108)
Используя (2.33), (2.37) и (11.103), получим
6s = -(^-T.z + ag)6z, (11.109)
где, как и в (11.1), коэффициент расширения при постоянном давлении обозначен а. Заметим, что
<ц'1,0>
и что для медленного движения
dtw = dtw = dt (6z). (11.111)
Подставим три последних соотношения в уравнение (11.107):
d]{bz) = ~ag(r.z+^T)bz. (11.112)
Уравнение (11.112) описывает гармонические колебания около по ложения локального равновесия (6z = 0), если только выполнены следующие условия:
а > 0 и (11.113)
Cp
или
а < 0 и T-Z < — . (11.114)
Cp
Во всех остальных случаях 6z возрастает со временем и состояние покоя становится неустойчивым.
Условия устойчивости (11.113) и (11.114) имеют простой механический смысл. Действительно, используя (11.107), (11.109) и (11.110), их можно переписать в другой форме:
бр oz > 0. (11.115)
Таким образом, если элемент жидкости смещается вверх (6z > 0), плотность увеличивается и гравитация стремится восстановить исходное состояние (и наоборот, для 6z< 0). Если же это условие не выполняется, следует ожидать возникновения конвекции. проблема устойчивости покоящейся жидкости
175
Существование критических температурных градиентов хорошо известно [100]. Поскольку при выводе условий устойчивости (11.113) и (11.114) диссипативные процессы не учитывались, временное поведение флуктуаций в области устойчивости носит характер незатухающих колебаний. Действительная часть сог частоты со здесь исчезает из-за отсутствия диссипативных процессов [см. (6.35)].
Рассмотрим уравнения баланса для этого простого случая. Умножив обе части соотношения (11.112) на рw и использовав уравнение (11.111), получим уравнение баланса для приращения кинетической энергии
{pdtw2=-ag9(T-z + ^T)wbz. (11.116)
Если выполнено условие (11.113), кинетическая энергия, связанная с возмущениями, осциллирует во времени.
Аналогично с учетом (11.105) уравнение баланса избытка энтропии (7.96) в идеальной жидкости можно записать в виде
J dfi2 (ps) = - W [Г^'б (ре) - бр]. (11.117)
Использовав (2.47), запишем
= еТ7г' + к {рТ~%, (11.118)
тогда уравнение (11.117) принимает вид
Y dfi2 (ps) = pT~lw [T,z 6s - p,z oo]. (11.119)
Разложим ба по переменным sup, используя соотношения (2.33), (2.37), (11.105) и (11.110). Тогда с учетом (11.109) получим
і dfi2 (ps) = s,2® os = - [т.г + — tJ wbz. (11.120)
Таким образом, во всех случаях
Y dfi2 (ps) < 0 для ^ = 0, (11.121)
так как Wbz— величина положительная при t = 0. Однако, если выполнено условие устойчивости (11.113), знак wbz будет изменяться, поэтому 62(ps) осциллирует во времени, подобно W2.
В теории устойчивости Ляпунова (разд. 6.2) состояние называется асимптотически устойчивым, если на больших временах возмущение исчезает; если же система совершает движение в некоторой окрестности рассматриваемого состояния, то оно называется устойчивым. Этот последний, более общий тип устойчивости часто называют устойчивостью по Пуанкаре — Пуассону.
Таким образом, устойчивость диссипативных систем — это асимптотическая устойчивость, тогда как в случае идеальной жидкости 176
ГЛАВА 10
можно говорить лишь об устойчивости в расширенном смысле. Следует еще отметить различие между уравнением баланса энтропии (11.101) и уравнением баланса для избытка энтропии (11.120): в то время как в уравнении (11.101) в соответствии с определением идеальной жидкости отсутствует источник, в уравнении (11.120) такой источник содержится. И это легко понять. В результате флуктуаций имеется периодический обмен между внутренней и кинетической энергиями, поэтому в каждой фиксированной точке термодинамическое состояние изменяется со временем. Источник избытка энтропии содержит как обратимые, так и необратимые составляющие, следовательно, этот источник не исчезает даже в идеальной жидкости.
ГЛАВА
- 12 -
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛОКАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА К ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА
12.1. Введение
В этой главе мы исследуем термическую и механическую устойчивость стационарного ламинарного потока по отношению к малым возмущениям. В качестве стационарного ламинарного потока
будет рассмотрено течение Пуазейля несжимаемой жидкости между двумя горизонтальными пластинками, каждая из которых поддерживается при заданной температуре.
Применение метода избыточного локального потенциала (разд. 10.10) к течениям, близким к пуазейлевскому, позволяет найти область устойчивости этого потока. Два основных безразмерных параметра в этой задаче — число Релея и число Рейнольдсп. Число Релея (11.33) теперь имеет вид
л _ gaAT/i3
Рис. 12.1. Плоское течение Пуазейля с поперечным градиентом температур. а — параболическое распределение скоростей; б — жидкость, нагреваемая сверху (ДT > 0); в —однородный температурный поток; г —жидкость нагреваемая снизу (А71 < 0).
