Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
¦ J
:0.
(13.10)
Комбинируя эти уравнения, получим
ІР-1 J- h, + м' ГІ1 ± J-
дх р с дх .
По определению характеристики — это линии в плоскости Xj t, наклон которых равен скорости распространения возмущений относительно фиксированной системы координат.
Так как газ движется со скоростью v, а возмущения распространяются со скоростью ± с относительно газа, мы имеем два семейства характеристик С+ и C-, определяемых соответственно уравнениями:
4f = v + C (С+), = Сравнивая с уравнением (13.10), видим, что
с [C-).
(13.11)
dv + — dp = 0 на С+
'р Cr +
dv--dp = 0 на C-,
р с
(13.12)
(13.13) УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
195
где оператор d означает дифференцирование вдоль данной характеристики.
Поскольку поток изоэнтропийный (разд. 13.1), каждую переменную р и с можно рассматривать как функцию переменной р. Вследствие этого, формулы (13.12) и (13.13) можно считать полными дифференциалами. Функции
'--"-IM- (13Л4>
называются инвариантами Римана [100]. Нетрудно убедиться в том, что
dI+ = 0, т. е. /+= Const на С+ 1
Gf/_=0, т. е. /_ = const на С_ | (13.15)
Наличие этих инвариантов весьма существенно для теории.
Если для идеального газа постоянно отношение у = cp/cv, то имеет место уравнение адиабаты
p~pv, (13.16)
и из уравнения (13.6) имеем
с2 ~ YPv-1. (13.17)
Следовательно,
/± = V ± Y=Tc- (13Л8)
Теперь МЫ можем перейти OT переменных VHCK переменным /+ и /_. Тогда уравнения характеристик (13.11) примут следующий вид:
~ = F+(J+,J-) на С+;
/_) на C-. (13.19)
Функции F+ и F- зависят как от граничных, так и от начальных условий. Рассмотрим, например, волны разрежения [рис. 13.1 (2)]. Предположим, что поршень движется ускоренно от состояния покоя при t = 0 до некоторого момента времени t = t\, а затем, при t > tA, его скорость остается постоянной.
Ход характеристик показан на рис. 13.2. В начальный момент времени характеристики С_ расположены в области, где газ находится в состоянии покоя (правее точки 0). Функция 1-(х,0) имеет одно и то же значение для всех х > 0 и, кроме того, остается постоянной вдоль любой характеристики С_, поэтому I- сводится к постоянной в плоскости X, t. Но тогда вдоль характеристики С+ оба инварианта /+ и I- постоянны, следовательно, уравнение (13.19) можно сразу проинтегрировать, и мы получим для характеристики С+ уравнение прямой линии
x = F+(I+, /_)* + Ф(/+) на С+. (13.20)
7* 196
ГЛАВА 10
Обсудим некоторые следствия этого важного результата. Сравнивая уравнения (13.20) и (13.11), мы видим, что
X = [V + с (v)] ^ + ф (у) (С+), (13.21)
где зависимость c(v) возникает от инвариантности /+ вдоль С+. Соотношение (13.21) можно еще записать иначе:
V = H*-[V +с (V)] fl (13.22)
или
C = g{*-[v +C(v)]fl. (13.23)
Конкретная форма функций fug снова зависит от начальных и граничных условий. Здесь наблюдается некоторая аналогия с плоской волной fi (х — et) в (13.7). Однако теперь точки, отвечающие разным скоростям v, перемещаются с различными скоростями, следовательно, профиль волны изменяется во времени.
Волны конечной амплитуды, определяемые уравнениями
(13.21)-(13.23), называются Рис. 13.2. Характеристики волны простыми волнами [100, 198]—Это разрежения. волны, совместимые с состоянием
однородного равновесия. Так как инвариант /_ постоянен для всех х и t, для идеального газа из формулы (13.18) получаем соотношение
2 2 (13.24)
I-.-
где Ce ¦
у — 1 у — 1
скорость звука в покоящейся жидкости. Отсюда
2 !
с),
¦ Y- 1
+ xI-V.
(13.25)
На поршне V = U •< 0, следовательно, в соответствии с (13.16) и (13.25) с < се, р < ре и р •< ре. Эти неравенства верны не только для идеальных газов. Рассмотрим функцию
(13.26)
Учитывая во втором равенстве (13.14) тот факт, что I- — постоянная величина, мы получим для волны разрежения (dv/dx > 0):
de
d^__dv_ _ 1 dp с dp 2 дх дх р с dx р dx р
— >0
de*]s dx ^ u-
(13.27)
Установленные выше неравенства можно непосредственно получить из (13.27) при предположении, что
(13.28) УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
197
или, учитывая определение (13.6) для с2,
tl<0- <13-29>
Будем считать это условие выполненным. Для идеального газа оно выполняется тождественно. Условие (13.29) аналогично, но неэквивалентно неравенству
(d2vldp2)s > О,
которое использовали Ландау и Лифшиц в теории слабых разрывов [100].
Очевидно, что для волн сжатия (dv/dx < 0) можно получить те же неравенства, но только знак в (13.27) будет противоположным:
dv дх
<0;
дх
<0;
др_ дх дс_ дх
<0;
<0. (13.30)
Возвращаясь к идеальным газам и используя соотношения
2
Рис. 13.3. Характеристики С+ для волны Рис. 13.4. Изменение профиля ско-сжатия. ростей в простой волне сжатия. Фор-
мирование ударной волны.
(13.11) и (13.25), мы получим для характеристик С+, начинающихся на поршне, уравнение dx ~df
(С+). (13.31)
Таким образом, области 0 < t < tA (см. рис. 13.2) характеристики С+ образуют семейство расходящихся прямых линий. Для волн сжатия мы таким же путем найдем семейство сходящихся прямых линий (рис. 13.3).
