Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Большое значение имеет также выбор пробных функций фй, введенных в (12.35). Следует избегать слишком узкого набора 192
ГЛАВА 10
пробных функций. Например, набор функций (1—у)у^к~1\ исчезающих при у = 0 и у = 1, кроме того, имеет исчезающие первые производные при у = 0 и, следовательно, является слишком узким для тех задач, в которых исчезновения производной не требуется граничными условиями. Напротив, система (1—у)у(2к~*\ обращающаяся в нуль при 0 и 1, свободна от этого ограничения (см. [105]). Слишком ограниченный набор пробных функций приводит в общем случае к плохой сходимости.
Приложениям метода локального потенциала к задачам устойчивости в гидродинамике и магнитной гидродинамике посвящены работы [160, 165, 166].
В заключение отметим, что можно получать различные аналитические выражения для локального потенциала, используя различные весовые множители (разд. 10.8).
ГЛАВА
---- 13 ---.-
УСТОЙЧИВОСТЬ волн КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
13.1. Введение
В гл. 11 (разд. 11.12) мы рассматривали устойчивость столба идеальной жидкости по отношению к возмущениям, переносимым вместе с веществом (OS ф 0, бр = 0; отсутствие бегущих возмущений). Теперь мы изучим противоположный случай, когда имеется изоэнтропийный поток идеальной жидкости, подверженный дей* ствию малых изоэнтропийных возмущений (6s = 0, 8рф0). Таким образом, нас интересуют бегущие возмущения, такие, как зву. ковые волны (ср. разд. 11.12).
В этой главе в качестве типичного примера приведена задача об устойчивости одномерных изоэнтропийных «простых волн» разрежения и сжатия [59]. В этом случае мы рассматриваем проблему устойчивости зависящего от времени процесса в сжимаемой жидкости, тогда как до сих пор наша теория применялась лишь к устойчивости стационарных состояний. Именно это обстоятельство и представляет наибольший интерес.
Метод кинетической устойчивости, основанный на анализе нормальных мод, теперь не применим, однако наш критерий устойчивости сохраняет силу. Прежде чем перейти к существу дела, мы кратко рассмотрим основные свойства бегущих волн — звуковых волн, которые соответствуют малым возмущениям, и волн конечной амплитуды. Более подробно эти вопросы освещены в превосходных монографиях Ландау и Лифшица [100] и Зельдовича и Райзера [198]. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 193
13.2. Звуковые волны
В идеальной жидкости в отсутствие внешних сил и градиентов плотности уравнения баланса массы (7.50) и импульса (7.51) для малых возмущений имеют вид
Ot бр + Р"п = 0, (13.1)
pdtUi + S'i = 0 (/=1, 2, 3). (13.2)
Для изоэнтропийных возмущений
HfW (13-3)
Таким образом, мы записали пять уравнений для пяти функций бр, Ui и S. Удобно ввести потенциал скоростей Ф соотношением ([100], разд. 63)
U( = Ф','. (13.4)
Тогда из уравнения (13.2) получаем
S= — рдіФ, (13.5)
а уравнение (13.1) превращается в волновое уравнение для потенциала
д2Ф — с2 (Ф, Д. = 0, C2 = (Ir)i.. (13-6>
Решение этого уравнения, соответствующее плоской волне, имеет вид
ф = /,(* + ct) + f2(x-ct), (13.7)
где с — скорость звука. Беря соответствующие производные от (13.6), можно показать, что возмущения бр, Ui и S также удовлетворяют волновому уравнению. Невозмущенное состояние устойчиво по отношению к звуковым волнам в расширенном смысле этого термина для идеальной жидкости (разд. 11.12). Если же учесть и явление диссипации, то устойчивость становится асимптотической.
Однако положение резко изменяется, когда основное состояние неоднородно. Этому случаю соответствуют нелинейные уравнения, и даже тогда, когда форма волнового уравнения (13.6) сохраняется, скорость с изменяется от точки к точке. Исследование устойчивости в такой ситуации намного сложнее. Нам представляется интересным применить к решению этой проблемы критерий устойчивости; при этом мы ограничимся одномерным случаем.
13.3. Волны сжатия и разрежения. Инварианты Римана
Рассмотрим одномерный газовый поток. Газ в состоянии покоя находится в трубке. На левом конце трубки имеется подвижный поршень, и трубка простирается вправо настолько далеко, что ее
7 Зак. 566 194
ГЛАВА 10
можно считать бесконечной [рис. 13.1 (1)]. Поршень можно двигать или влево [рис. 13.1 (2)], или вправо [рис. 13.1 (3)]. В первом случае скорость поршня U(x,t) отрицательна и газ расширяется (скорость газа v также отрицательна). Возмущение, вызванное движением поршня, распространяется вправо со скоростью звука
с — это волна разрежения. Если же поршень движется вправо, мы получаем волну сжатия.
Для полноты дадим здесь краткий обзор гидродинамической теории таких волн (подробности можно найти в книгах [68, 100, 198]). Для изоэнтропийного одномерного течения уравнение непрерывности (1.12) принимает вид
1. Состояние покоя
2. Волна разрежения
V=J/
3. Волна сясатия
Рис. 13.1. Образование воли сжатия и волн разрежения.
р с dt 'р с дх 1 дх
а уравнение Эйлера (11.100) записывается как
= 0.
— _!_ dv і 1 dp
"т" V дх "г р дх
dt
(v = vx), (13.8)
(13.9)
