Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
В этом разделе исследуется проблема устойчивости волн разрежения, изображенных на рис. 13.1 (2). Как и в предыдущем примере, граничные условия считаем неподверженными возмущениям. Для изоэнтропийного одномерного течения имеем (р, = h — Ts)
S7 = 0, т. е. Си-2—¦>/ = Слз—0-/5 (13-42)
для малых изоэнтропийных возмущений, которые мы рассматриваем,
6S = 0, т.е. б {\iT~x) = b{hT~]). (13.43)
В соответствии с этим все диссипативные эффекты исчезают, в частности из уравнений баланса (7.56) и (7.57) исчезает производство избыточной энтропии 2 б/а бХа.
а
*) Работа, учитывающая диссипативные эффекты, приведена в [113]. — Прим,
ред. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 201
Таким образом, критерий устойчивости для этой задачи имеет вид
+ oo
P[6Z]= J {-[«O(ре)+«а+ -іPVU2J^r +
Xp
+ и бр - [а б Г"1 - PT-1U2 - VT-iU бр] -? +
± т (Pv) + [б (Pe) іor~' - 6P Ьj.
(13.44)
С помощью условий (13.42) и (13.43) можно выразить изменения р, р, Т, е и h (градиенты или возмущения) через одну из этих величин, например через давление р. Соответствующие преобразования подынтегрального выражения в (13.44) для удобства изложения даны в следующем разделе. После этих преобразований подынтегральное выражение принимает вид
ff = v. (*L + J_) q2 + 1 /*> _ 2 V а2
2р2с2Г \Ср с2 J дх ' 2рс2Г \дх с дх) '
+ Іг^ + Ш«'- <ІЗ'45>
Используем теперь соотношения (13.36) и (13.40) между возмущениями и и S. После исключения а равенство (13.45) записывается как
+ (2+-?-*!)^-?} (С*>- <,3-46)
Связь между оставшимися тремя градиентами дается уравнением состояния. Для идеальных газов с постоянной у из уравнения (13.24) имеем
*L = 2
дх у — 1 дх у '
и выражение (13.46) принимает следующий вид (а = Г-1):
_ си2 ( 2у — 1 у V 1 др
CpT2 (у-1 C-Y-Ijd*
Из соотношения
Р~С1 YZ(V-I)1 (13.49) 202 ГЛАВА 10
которое является следствием уравнений (13.16) и (13.17), получим также
l^^Yi^fL, (13.50)
р дх у — 1 с дх • '
Исключив градиент давления из подынтегрального выражения (13.48), можно записать условие устойчивости (13.44) в виде двух неравенств:
+ OO
P+[OZ]=| (v!_"21)r [(Зу+ 1)у + 4у +2]^dx>0, (13.51)
P
+ OO
P-W=] (V^T)r[3(v-l)T + 2]lr^>0 (13.62)
xP
(;t > t0) на С_ •
Теперь вспомним, что для волн разрежения [см. рис. ІЗ.I (2) и соотношение (13.27)]
Xp < О, V < 0; IJ >0. (13.53)
Кроме того, скорость звука должна оставаться положительной вблизи поршня. Тогда в соответствии со вторым соотношением (13.25) имеем неравенство
(c)Xp = ce-Z^-\U\>0, т.е. \U\<-^n-Ce=Umax. (13.54) Если поршень движется со скоростью, большей чем
Umax, жидкость
уже не будет успевать перемещаться за ним, и применение гидродинамики вряд ли будет справедливым.
Чтобы наш основной принцип локального равновесия был выполнен, необходимо предположить, что скорость движения поршня всегда меньше локальной скорости звука, т. е. что в каждой точке
|v|<c. (13.55)
В этом случае течение всюду дозвуковое. Кроме того, примем, что
Y <-§¦"• (13.56)
верхний предел достигается у одноатомных газов. С помощью формул (13.53), (13.55) и (13.56) можно легко убедиться в том, что оба условия (13.51) и (13.52) выполнены.
Таким образом, простая волна разрежения в дозвуковой области представляет собой устойчивый временной процесс. Этот вывод не исключает, однако, появления различных видов неустойчивости, которые возникают при аномальных термодинамических свойствах, ведущих к изменению знака либо в (13.28) и (13.29) УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 203
(возможность ударного разрежения [86, 198]), либо в (13.56) (идеальные газы, например, с у = 3 [101]). Неустойчивость возможна и в сверхзвуковой области. Но эти вопросы в данной книге не рассматриваются.
13.7. Преобразование P[bZ\
Здесь мы приведем основные выкладки, путем которых можно перейти от подынтегрального выражения (13.44) к соответствующей упрощенной форме (13.45). Предполагается, что граничные условия не возмущены.
Прежде всего нам понадобится, кроме выражений (13.3) и (13.38), соотношения для изоэнтропийного процесса (разд. 2.24):
б (ре) — /гбр = р(бе +pou) = pros = 0, (13.57)
0HIrLs=Is- (13-58)
Такие же соотношения можно записать и для соответствующих градиентов. В результате получим
ІГ*07"" = W-Й-02 =^ Wflp. (13.59)
С другой стороны,
V dbh , -V с, a /Э\ V dpo<2 v dS2
- T-дГ^=-T^ ^ Ki) ^=wir- (13-6°)
Последний член в (13.60) дифференцируем по частям и пренебрегаем дивергенцией, поскольку она исчезает при интегрировании. В итоге имеем уравнение
Преобразовывая последний член и производя перегруппировку слагаемых, окончательно получаем
__у д б/г , _ у Г J___а] _др ~2 , 1 Г dv__v_ де2 "1
T дх 0Р~ 2р2Тс2 L с2 ср J дх 2р7"с2 [дх с2 дх J ® '
(13.62)
Теперь выражение в последней скобке из (13.44) запишем в следующем виде:
V [ [б (ре) - h бр] ^-(бГ"1) - ? бР 6Г"! - бР bh - Г-1 бр } и подставим в него формулы (13.57), (13.59) и (13.62), тогда 204 ГЛАВА 10
Оставшиеся члены в правой части (13.44) могут быть преобразованы аналогично. Запишем только результаты этих преобразований:
