Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
12.3. Избыточней локальный потенциал в проблеме гидродинамической устойчивости
В разд. 10.10 мы использовали оператор б для обозначения зависящих от времени решений уравнений для возмущений, таких, как б Vi, бр; а оператор б' — для обозначения приращений этих величин (см. рис. 10.4). Здесь мы введем более простые обозначения
Ui = 6vi, S = 6p для приведенных возмущений и
б«г=б'(б^), ба = б'(бр)
для их приращений. Умножим обе части уравнения (12.3) на —6S' и обе части уравнения (12.4) на —Ьщ\ затем сложим эти уравнения. Кроме того, примем во внимание равенство
(dtut) (ди{) = ~dt (бUi)2 + (dtu^ (ба,), (12.13) 180 глава 10
где индекс «0» соответствует непроварьированной величине, т. е. решению уравнений для возмущений, рассматривающихся в гл. 10. Результат сложения теперь можно записать в виде
— у dt (б Ui)2 = [U jutbut + UjUibUl — (Ste)~l Ui-jbui-\-oibuj + Ui 6S]f/ —
— U jUi Ьиі4 — U j' jU( but — VtUl bUfj — UiUj4 bui — S but4 +
+ {2&efl б (urif — U16S,f + dtu°t bu{, (12.14)
После интегрирования по объему дивергенции исчезнут, так как граничные условия фиксированы. Используя метод, развитый в гл. 10, мы получим приращение локального потенциала
Ф = J [- UytUn - IPnUjUl - UyiUl4 - UynUi - иу.{ - SPun +
+ (2$te)~l (unf + utdtu<j] dV. (12.15)
Действительно, легко убедиться в том, что уравнения баланса для приращений (12.3) и (12.4) являются уравнениями Эйлера — JTa-гранжа для функционала (12.15), если при этом использовать дополнительные условия, зависящие от времени (разд. І0.9),
UOr=Uf, S° = S+. (12.16)
В вариационном методе безусловного минимума функции Ui и S следует варьировать независимо. Можно также исключить некоторые из неизвестных функций с помощью уравнений баланса до построения локального потенциала. Приращение локального потенциала, содержащее только одну неизвестную функцию, часто служит прекрасной основой для численных расчетов (см., например, разд. 11.10). В следующем разделе приведен пример, иллюстрирующий это замечание.
12.4. Приращение локального потенциала в исследовании устойчивости потока с поперечным температурным градиентом
Рассмотрим полный набор уравнений баланса для приращений (7.50) — (7.52). Мы снова будем использовать безразмерные величины, но масштабы выберем отличными от тех, которые были использованы в разд. 12.2. Запишем уравнение баланса для приращения импульса и энергии в виде
dfu. = — SleUjUri — Meuprj — а., +
+ (Ut4)4 +SlaBа; (а( = 0, 0, 1); (12.17)
SPjtdtB = - PeUjQ-I + W + (O7)7. (12.18) применение метода локального потенциала
181
Масштаб координат взят равным d = /г/2; масштаб времени равен d2Jv, масштабы возмущений скорости, давления и температуры (0) равны к/с/, d2jpKv и AT (12.1) соответственно. Характерной скоростью основного потока считается U+ (рис. 12.2, а).
В уравнениях баланса (12.17) и (12.18) появляются четыре безразмерные характеристики процесса: число Релея (12.1), число Рейнольдса (12.2), число Прандтля и число Пекле определяемые соотношениями
0>, = J!l!L. (12.19)
Однако эти четыре характеристики не являются независимыми, так как
Л = SkX^*. (12.20)
Для двумерного пуазейлевского плоского течения уравнения для возмущений (12.17) и (12.18) принимают вид
др = — MeUw.x — а, 2 + MaQ + V2W, (12.21)
dtu = - MeUu,x — - MewLТ,г + V2u, (12.22)
Ptdfi = - PeUQ ll + W + V2Q. (12.23)
Снова, чтобы получить избыточный локальный потенциал, умножим обе части каждого уравнения (12.21) — (12.23) на —ow, —б и и —60 соответственно и сложим результаты. Проинтегрируем полученное выражение в плоскости х, z после интегрирования по z по частям; на верхнем и нижнем пределах граничные члены исчезают. В соответствии с методом разд. 10.8 и 10.9 мы получим таким путем зависящие от времени приращение локального потенциала в виде функции xF {и, и0, w, w°, 0, 0°, S0, Me, Ma, 9і*) и основное минимальное свойство (10.77). Дополнительные условия в данном случае следующие:
U+=U0; W+=W0; Q+ = Q0. (12.24)
Аналогично уравнениям (12.5) примем для возмущений: W = W (z) eiaxeat; Q = Q(z)eiaxeat;
U = -^-DW (z) eiaxeat; S = П (2) elaxeot. (12.25)
Здесь о— приведенная собственная частота. Набор функций (12.25) удовлетворяет уравнению непрерывности (12.3), а подстановка его в приращение локального потенциала дает нам форму
? (W, W0, 0, 0°, II0; Me, Ma, 9>и, а, а),
содержащую только две неизвестные функции W и 0 вместо трех. Далее, П° легко исключить, используя уравнения (12.22) и (12.25). 182 ГЛАВА 10
Запишем окончательную форму избыточного локального потенциала:
Z2
W = Л [а2 + а + iaMeU] [W°W + -1-(DW°) (DlT)] +
— MaWW — Г°0 — -Jnr (D2W)2 + 4- (D2W0) (D2W) —
+ [а2 + Mi (а + iaMeU)] 0°0 + у [(DW)2 + (D0)2] -
(D2W)2 +
—-i^L (DU)(DW) W0} dz. (12.26)
Напомним, что безразмерные величины, входящие в (12.26), такие, как Z1 и Z2, зависят от выбора системы координат (рис. 12.2). Зависящий от времени избыточный локальный потенциал (12.26) имеет два хорошо известных предела.
1) В отсутствие течения (Me = O) экстремум (12.26) с учетом дополнительных условий W0 — W+ и 0° = 0+ дает уравнение Эйлера — Лагранжа
